MA265 Transformaciones lineales - Definición y propiedades[Respuetas]

Matemática Discreta Ejercicios de aplicación de Funciones booleanas - Solucionario EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un grupo de cinco amigos, Pedro, Ana, Juan, Martha y Luis, van a la Playa el Silencio. Para que siempre haya alguien vigilando las toallas, deciden las chicas, que Luis solo se bañaría cuando: • Las dos estén en el agua y al menos uno de los dos chicos no lo esté. • Pedro o alguna de las chicas estén en el agua, pero Juan no. Determine la función booleana que decide cuando se baña Luis y el circuito lógico mínimo. Solución Determinando cuando se baña Luis: 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 𝑤 variables de entrada y 𝐹 la salida. 𝑥 : Pedro, 1 (se baña) y 0 (no se baña); 𝑦 : Ana, 1 (se baña) y 0 (no se baña); 𝑧 : Juan, 1 (se baña) y 0 (no se baña); 𝑤 : Marta, 1 (se baña) y 0 (no se baña). 𝐹 : Luis, 1 (se baña) y 0 (no se baña). Tabla de verdad: 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝐹 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Diagrama lógico: Función booleana: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑥 ∧ 𝒛′) ∨ (𝑥 ′ ∧ 𝒛 ′ ∧ 𝑦) ∨ (𝒛 ′ ∧ 𝑤) ∨ (𝑥′ ∧ 𝑦 ∧ 𝑤) En las primeras tres agrupaciones notamos el término en común, la variable 𝑧′ . Aplicamos la propiedad distributiva. Se tiene lo siguiente: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (𝑧′ ∧ (𝑥 ∨ 𝑦 ∨ 𝑤)) ∨ (𝑥′ ∧ 𝑦 ∧ 𝑤) 𝑦 𝑥 𝑧 𝑤 𝐹 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 ) Mapa de Karnaugh: 𝑧′ 𝑧′ 𝑧 𝑧 𝑥′ 1 𝑦′ 𝑥′ 1 1 1 𝑦 𝑥 1 1 𝑦 𝑥 1 1 𝑦′ 𝑤′ 𝑤 𝑤 𝑤′ Matemática Discreta 2. Un motor eléctrico puede girar en ambos sentidos por medio de dos contactores: "D" para el giro a derecha y "I" para el giro a izquierda. Estos dos contactores son comandados por dos pulsadores de giro "d" (derecha) e "i" (izquierda) y un interruptor de selección "L" de acuerdo con las siguientes condiciones: • Si solo se pulsa uno de los dos botones de giro, el motor gira en el sentido correspondiente. • Si se pulsan los dos botones de giro simultáneamente, el sentido de giro depende del estado del interruptor "L" de forma que: • Si "L" está activado, el motor gira a la derecha. • Si "L" está en reposo, el motor gira a la izquierda. Determine las funciones booleanas simplificadas que modelan D e I. Solución Determinando las funciones booleanas para 𝐷 e 𝐼 : 𝑖 , 𝑑 , 𝐿 variables de entrada; 𝐷 e 𝐼 las salidas. 𝑖 : botón de giro izquierdo, 1 (se pulsa) y 0 (no se pulsa); 𝑑 : botón de giro derecho, 1 (se pulsa) y 0 (no se pulsa); 𝐿 : interruptor de selección, 1 (activado) y 0 (no activado); 𝐷 : giro a la derecha, 1 (gira a la derecha) y 0 (no gira a derecha). 𝐼 : gira a la izquierda, 1 (gira a la izquierda) y 0 (no gira a la izquierda). Tabla de verdad: 𝑑 𝑖 𝐿 𝐷 𝐼 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 Funciones booleanas: Las respuestas a continuación también pueden ser obtenidas aplicando la propiedad distributiva inversa. Deberá llegar al mismo resultado que se muestra a continuación. 𝐷 = 𝑑 ∧ (𝑖 ′ ∨ 𝐿) 𝐼 = 𝑖 ∧ (𝑑 ′ ∨ 𝐿 ′ ) Mapa de Karnaugh para 𝐷 : 𝑖′ 𝑖′ 𝑖 𝑖 𝑑′ 𝑑 1 1 1 𝐿′ 𝐿 𝐿 𝑙′ Mapa de Karnaugh para 𝐼 : 𝑖′ 𝑖′ 𝑖 𝑖 𝑑′ 1 1 𝑑 1 𝐿′ 𝐿 𝐿 𝐿′ Solo se pulsa 𝑖 , no importa 𝐿 Solo se pulsa 𝑑 , no importa 𝐿 Se pulsan 𝑖 y 𝑑 , depende de 𝐿 Matemática Discreta 3. Un turista se encuentra en un pueblo de la selva peruana llevando una zorra, un ganso y un saco de maíz. Para llegar a un pueblo cercano debe atravesar un río en un bote pequeño, que puede transportar solo al turista y a uno de sus tres artículos (en ausencia del turista, la zorra se puede comer al ganso, y el ganso al maíz). Construya una función booleana mínima que permita al turista cruzar el río sin perder al ganso o al maíz. Además, construya el circuito (diagrama lógico) que implemente la función haciendo uso de las compuertas OR, AND y NOT. Solución Determinando la función booleana 𝐹 : 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 𝑤 variables de entrada y 𝐹 la salida. 𝑥 (Turista), 𝑦 (zorra), 𝑧 (ganso), 𝑤 (maíz): 1 (está en la orilla izquierda) y…