MA265 Transformaciones lineales - Definición y propiedades[Ejercicios]

Matemática Discreta Funciones booleanas • Aplicaciones en contexto real Unidad 2: Estructuras de orden, Álgebra de Boole. Logro de la sesión Al finalizar la sesión, estarás preparado para aplicar el concepto de funciones booleanas y Mapas de Karnaugh en contextos reales. Bibliografía • Profesores UPC – Libro digital – Aplicaciones de Funciones booleanas . Bibliografía textos de consulta. • FLOYD, Thomas L. (2015) Digital Fundamentals . Boston: Pearson https://bit.ly/2Toc8QP Bibliografía Multimedia Ejemplo : Usando un Mapa de Karnaugh simplificar la función booleana 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥′ ∧ 𝑦′ ∧ 𝑧′) ∨ (𝑥′ ∧ 𝑦 ∧ 𝑧′) ∨ (𝑥′ ∧ 𝑦 ∧ 𝑧) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧′) . Simplificación de funciones booleanas 𝒙 𝒚 𝒛 𝑓 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 ′ ∧ 𝑦 ∨ 𝑥 ′ ∧ 𝑧 ′ ∨ 𝑦 ∧ 𝑧 ′ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = [𝑥 ′ ∧ 𝑦 ∨ 𝑧 ′ ] ∨ 𝑦 ∧ 𝑧 ′ Ejemplo : Usando un Mapa de Karnaugh simplificar la función booleana 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑥 ′ ∧ 𝑦 ′ ∧ 𝑧 ′ ∧ 𝑤 ′ ∨ 𝑥 ′ ∧ 𝑦 ′ ∧ 𝑧 ∧ 𝑤 ′ ∨ 𝑥 ′ ∧ 𝑦 ∧ 𝑧 ′ ∧ 𝑤 ′ ∨ 𝑥 ′ ∧ 𝑦 ∧ 𝑧 ∧ 𝑤 ′ ∨ (𝑥 ∧ 𝑦′ ∧ 𝑧′ ∧ 𝑤′) ∨ (𝑥 ∧ 𝑦′ ∧ 𝑧 ∧ 𝑤′) . Simplificación de funciones booleanas 𝒙 𝒚 𝒛 𝑤 𝑓 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑥 ′ ∧ 𝑤′ ∨ 𝑦′ ∧ 𝑤′ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 = 𝑥′ ∨ 𝑦′ ∧ 𝑤′ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Un auto posee en su interior una luz de alarma que se enciende cuando una o ambas puertas delanteras están abiertas o mal cerradas. Cada puerta cuenta con un sensor que permite determinar si la puerta está abierta o mal cerrada. Jorge, estudiante de 1AMA0265 afirma que: Si se simplifica la función booleana en el mapa de Karnaugh con más de dos celdas con valor 1 , entonces el circuito lógico requiere de dos compuertas tipo OR. ¿ Estás de acuerdo con la afirmación de Jorge? Solución: Problema 1 Interpretación ¿ Qué tema trata y qué pide el problema? ¿Qué datos tenemos? ¿Qué teoría aplico para responder al problema? Sean A y B las variables booleanas asociadas a los sensores ubicados en las puertas del auto, tal que: 𝐴, 𝐵 = ቊ 0, la puerta está 𝐜𝐞𝐫𝐫𝐚𝐝𝐚 1, la puerta está 𝐚𝐛𝐢𝐞𝐫𝐭𝐚 𝐨 𝐦𝐚𝐥 𝐜𝐞𝐫𝐫𝐚𝐝𝐚 Sea 𝑆 = 𝑆(𝐴, 𝐵) la función booleana asociada al problema tal que: 𝑆 = ቊ 0, 𝐧𝐨 se enciende la luz interior 1, 𝐬í se enciende la luz interior Representación El problema es de funciones booleanas y nos pide validar la afirmación de Jorge. Como datos tenemos las condiciones para determinar si la puerta está abierta o mal cerrada . Para resolver el problema usaremos la técnica de los mapas de Karnaugh, compuertas de circuitos lógicos y lógica proposicional. Problema 1 Así, tenemos la siguiente tabla de verdad: 𝐴 𝐵 𝑆 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 Cálculo De la tabla anterior, tenemos el Mapa de Karnaugh: La función booleana simplificada que indica si la luz de la alarma se enciende o no: 𝑆 𝐴, 𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 Análisis y argumentación Un auto posee en su interior una luz de alarma que se enciende cuando una o ambas puertas delanteras están abiertas o mal cerradas. Diagrama lógico: 𝑆 𝐴, 𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 Celdas con valor de 1: 3 > 2 Verdad Núm. de Comp. tipo OR: 1 = 2 Falso V → F ≡ F Respuesta: La afirmación de Jorge estudiante de 1AMA0265 es falsa. Pues en el condicional, es verdad que se tiene más de dos celdas con 1, ya que en el mapa de Karnaugh son tres, pero es falso que la función lógica simplificada o circuito lógico tiene dos compuertas tipo OR. Por tal la condicional es falsa. Reporte Calculado Determine la función booleana más simple que permita decidir si se ve o no la televisión en una casa, sabiendo que, en el caso de que los dos padres estén de acuerdo, esa será la decisión por tomar. Solo en el caso de que los padres no estén de acuerdo, la decisión la tomará el hijo. ¿Se puede afirmar que en el circuito lógico más simple se requieren 2 compuertas tipo OR y 2 compuertas tipo AND? Solución: Problema 2 ¿Qué tema…