RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

Matemática Discreta MA265 Guía de ejercicios #2 Tema: División en los enteros EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para los números 2178 y 1716 a. Calcule su MCD. b. Si d es su MCD, determine s y t tal que: 𝑑 = s × 2178 + 𝑡 × 1716 . c. Determine su MCM. 2. Para los números 1584 y 3744: a. Determine su máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides. b. Determine s y t de tal forma que MCD(1584, 3744) = s (1584) + t (3744). c. Determinar su mínimo común múltiplo. 3. Usando el Algoritmo de Euclides a) Determine el 𝑀𝐶𝐷 (740; 112) . b) Determine el 𝑀𝐶𝑀 (740; 112) . 4. Usando el Algoritmo de Euclides a) Exprese el 𝑀𝐶𝐷 (642; 120) en la forma 𝑠 ∙ 642 + 𝑡 ∙ 120 con 𝑠 y 𝑡 enteros. b) Determine el 𝑀𝐶𝑀 (642; 120) . 5. Si 𝑑 = MCD(𝑎, 𝑏) y 𝑐 es un entero positivo tal que 𝑐|𝑑 , entonces ¿es cierto que 𝑐|𝑎 y 𝑐|𝑏 ? 6. Si 𝑎 y 𝑏 son primos entre sí, entonces ¿es cierto que existen dos enteros 𝑠 y 𝑡 tal que 𝑠 ∙ 𝑎 + 𝑡 ∙ 𝑏 = 1 ? 7. Calcule MCD(10 20 , 6 30 ) . 8. Demuestre que para todos los enteros positivos a y b : 𝑀𝐶𝐷(𝑎, 𝑏) = 𝑀𝐶𝑀(𝑎, 𝑏) 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖, 𝑎 = 𝑏. 9. Un agricultor tiene un terreno rectangular de 132 metros de ancho y 234 metros de largo. Él desea dividir su terreno en parcelas cuadradas y de mayor área posible para plantar 7 paltos en cada parcela. a. ¿Las parcelas pueden medir 25 m 2 ? b. ¿Cuál es el número mínimo de paltos que puede sembrar? 10. Si 24 es el divisor y 8 el residuo de una división inexacta, ¿será 4 factor común del dividendo y el divisor? ¿Por qué? Matemática Discreta MA265 11. Dos de los lados de un terreno de forma triangular miden 576 m y 336 m, el tercer lado colinda con un cerro. Se quiere cercar dicho terreno colocando postes en los dos primeros lados mencionados, igualmente distanciados, de tal manera que haya un poste en cada esquina de los lados del terreno. ¿Cuál es el menor número de postes que se necesitarán? 12. Las dimensiones de un terreno rectangular son 840 m y 1440 m. Se desea cercarla con postes que estén igualmente distanciados, de tal manera que haya un poste en cada una de las esquinas y que la distancia entre poste y poste esté comprendida entre 24 m y 36 m. ¿Cuántos postes se necesitarán como mínimo? 13. Marco tiene un terreno de forma rectangular de 120m de ancho y 288m de largo. si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta un árbol en cada esquina de cada parcela, ¿cuál es el mínimo número de árboles que podría sembrar en todo su terreno? 14. Una tienda compra tarjetas de memoria de diferentes tipos al por mayor. Para fin de año hizo un pedido extraordinario de 168 memorias del tipo SD, 392 del tipo SDHC y 1008 del tipo SDXC. Para guardar la mercancía de forma organizada, exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin combinar los tipos y conteniendo el mayor número posible de tarjetas de memorias. Si se cumplen las exigencias de la tienda, ¿cuántas tarjetas de memorias habrá en cada caja y cuántas cajas de cada tipo habrá?