MA265 Sesión 1.1 Teoría de conjuntos [Libro]

Matemática Discreta Profesores MA265 1 Guía de ejercicios 01 Tema: Teoría de Conjuntos 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones . Justifique sus respuestas . a. ∃𝐴 /𝑃(𝐴) = {∅} , Note que 𝑃(𝐴) es el conjunto potencia de A . b. Dados los conjuntos A y B . Afirmarnos que: (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑃(𝐴) . c. Dado los conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/𝑥 = 8𝑘, 𝑘𝜖ℤ } , 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/𝑥 = 6𝑘, 𝑘𝜖ℤ } y 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ/𝑥 = 48𝑘, 𝑘𝜖ℤ } . Podemos afirmar que: 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 . d. Si 𝐴 ⊕ 𝐵 = ∅ entonces 𝐵 = 𝐴 . e. Dado el conjunto 𝐴 = {3𝑥 + 1/𝑥 ∈ ℤ} . Afirmamos que: −11 ∉ 𝐴 . f. Dado el conjunto 𝐵 = {7 − 3𝑦/ 𝑦 ∈ ℤ} . Afirmamos que: 31 ∈ 𝐵 g. 𝑃({1} ∩ {2}) = {∅} . 2. Sea el conjunto A = { ∅ ; {4; 5}; {4}; {5}; { ∅ }; 5}. Indique si es verdadera o falsa cada una de las siguientes a. ∅ ∈ 𝐴 b. {5} ⊂ 𝐴 c. {4; 5} ∈ 𝐴 d. {∅} ⊂ 𝐴 e. {{∅}} ⊂ 𝐴 f. ∅ ⊂ 𝐴 3. Sean los conjuntos A = { ∅ , { a , b }, { a }, { ∅ }, a , b } y B = {{ ∅ }, a , b , c , { a , c }}. Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su respuesta. a. ∅ ∈ A  B b. { c }  A ⨁ B c. { b , c } ∈ B − A d. { ∅ }  A − B e. {{ ∅ }, b } ∉ B f. ∅  B 4. Sea 𝐴 = {{𝑎, 𝑏,  }, {𝑎}, {{  }}, 𝑎, {𝑏}, {𝑎}} Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su afirmación. a. |𝐴| = 6 b. 𝐴  𝐴 c. {a}  A d. ∅  𝐴 ′ e. ∅ = 𝐴  { ∅ } f. 𝐴 ∈ 𝐴 5. Demuestre que los conjuntos A = B , por el método de doble inclusión: 𝐴 = {2𝑥 + 5/𝑥 pertenece a los números enteros} 𝐵 = {1 + 2𝑦/ 𝑦 pertenece a los números enteros} 6. Dados los conjuntos A =  1, 2, 3, 4, 5  , B =  1, 2, 4, 6, 8  y C =  2, 4, 5, 7  , obtenga un conjunto X tal que X  A y A − X = B  C . 7. Sea 𝐴 = {∅, {𝑎, 𝑏}, {𝑎}, {{∅}}, 𝑎, {𝑏}} . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a) ∅ ∈ 𝐴 b) {𝑏} ⊂ 𝐴 c) {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐴 d) {∅} ⊂ 𝐴 e) {{∅}} ∉ 𝐴 f) ∅ ⊂ 𝐴 8. Sean los conjuntos 𝐴 = {{5, 𝜋, 3}, 𝜉, ∅, {1, 𝑚}} , 𝐵 = {{𝜋}, 8, {1, 𝑚}} y 𝐶 = {{𝜋}, ∅, 𝜉, {1, 𝑚}}. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. Matemática Discreta Profesores MA265 2 a) ∅ ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 b) {1, 𝑚} ⊂ 𝐴 c) {5} ∈ 𝐵 − 𝐶 d) {∅} ⊂ 𝐴 − 𝐵 e) {{∅}, 𝜉} ⊄ 𝐴 f) ∅ ∉ 𝐶 9. En el conjunto formado por todos los números naturales estrictamente menores que 1000, indique cuántos números hay que no son múltiplos ni 3 ni de 5 ni de 7. 10. En una empresa constructora trabajan 100 empleados entre contadores, economistas e ingenieros; 45 de ellos tienen una y solo una de estas profesiones. De los contadores 25 son economistas y 27 son ingenieros; 33 son economistas e ingenieros. a. ¿Cuántos de los referidos empleados tienen las tres profesiones? b. ¿Cuántos tienen solo dos profesiones? 11. En una oficina de colocación se ofrecen 29 puestos de trabajo del ramo de la construcción: 13 deben ser albañiles, 13 fontaneros y 15 carpinteros. Además 6 tienen que ser albañiles y fontaneros, 4 fontaneros y carpinteros, y 5 albañiles y carpinteros. a. ¿Cuántos tienen que ser las tres cosas a la vez? b. ¿A cuántas personas que solo tengan el oficio de albañil se les ofrece empleo? 12. A cada palabra de la lengua castellana le haremos corresponder el conjunto de sus letras afectadas por subíndices de acuerdo con el lugar que ocupan, por ejemplo, a la palabra “teléfono” le corresponde el conjunto {𝑡 1 , 𝑒 2 , 𝑙 3 , 𝑒 4 , 𝑓 5 , 𝑜 6 , 𝑛 7 , 𝑜 8 } . La distancia entre dos palabras será por definición, el número de elementos de la diferencia simétrica de los conjuntos correspondientes, por ejemplo, d (mama, papa) = 4, puesto que la diferencia simétrica de los conjuntos. {𝑚 1 , 𝑎 2 , 𝑚 3 , 𝑎 4 } , {𝑝 1 , 𝑎 2 , 𝑝 3 , 𝑎 4 } es {𝑚 1 , 𝑚 2 , 𝑝 1 , 𝑝 2 } . Calcule: a. d (vida, vid) b. d (cielo, tierra) 13. En inteligencia artificial frecuentemente se utilizan conjuntos difusos. En un conjunto difusos S , cada elemento del conjunto universal U tiene un grado de pertenencia…