MA265 Sesión autónoma Semana 03 Ejercicios Sucesiones recurrentes

Matemática Discreta • Lógica proposicional Unidad 1: Teoría de Conjuntos, Lógica proposicional y Relaciones Logro de la sesión Al finalizar la sesión, estarás preparado para: Representar simbólicamente una proposición y determinar su valor de verdad. Bibliografía • Profesores UPC – Libro digital – Lógica proposicional • EPP, Susanna. (2012) Matemáticas discretas con aplicaciones. México, D.F.: Cengage Learning. Revisar páginas desde 23 hasta 116. Bibliografía textos de consulta. M ultimedia. https://bit.ly/3yaTaMn Lógica Es la disciplina que trata de los métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento. Proposición : Es una oración que declara que algo es verdadero o falso. Una proposición se expresa como una oración declarativa (y no como pregunta, orden, exclamación, etc.) Notación Para representar a las proposiciones en Lógica se emplean las letras p , q , r , etc., llamadas variables propositivas (o proposicionales). Nombre del operador Palabra que la define Símbolo Negación No es cierto que ~ Conjunción ... y ...  Disyunción débil ... o ...  Disyunción fuerte ..o,..o ⊕ Condicional Si ... entonces ... → Bicondicional ... si y solo si ...  Ejemplo • El 9 y el 27 son factores del 81. • Esa caja es de madera. • Nada es para siempre. Operadores Lógicos Son expresiones o símbolos que se utilizan para crear nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas. Tipos de proposición Proposición Simple Cuando es su definición no aparece operador lógico alguno. Ejemplo: Proposición Compuesta Cuando en su definición aparece al menos un operador lógico. Ejemplo: Fórmula Lógica: Es una combinación adecuada de variables propositivas y operadores lógicos. 1. Raúl y Marcos son muy buenos amigos 2. El menor número natural es uno. 1. El menor número entero no es cero. 2. El número 21 es impar, pero no primo. Ejemplo: 𝑝 ≡ El número 21 es impar. 𝑞 ≡ El número 21 es primo. 𝑝 ∧ ~ 𝑞 ≡ El número 21 es impar, pero no es primo Tablas de Verdad p q ~p p  q p  q p ⊕ q p → q p  q V V V F F V F F F F V V V F F F V V V F F V V F V F V V V F F V Las letras son p y q son proposiciones, a continuación, mostramos la tabla de verdad para cada operador lógico 𝑽 Clases de fórmulas lógicas Tautología Una fórmula lógica es una tautología si su tabla de verdad solamente contiene valores de verdad VERDADEROS. Contradicción o Falacia Una fórmula lógica es una contradicción si su tabla de verdad solamente contiene valores de verdad FALSOS. Contingencia Una fórmula lógica es una contingencia si no es una tautología ni una contradicción. 𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ⇒ 𝑝 𝑉 𝑉 𝑉 𝐹 𝐹 𝑉 𝐹 𝐹 𝑽 𝑭 𝑭 𝑭 𝑽 𝑽 𝑭 𝑭 𝑽 𝑽 𝑽 𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ ~ 𝑝 ∨ 𝑞 𝑉 𝑉 𝑉 𝐹 𝐹 𝑉 𝐹 𝐹 𝑽 𝑽 𝑽 𝑭 𝑽 𝑽 𝑽 𝑭 𝑭 𝑭 𝑭 𝑽 𝑭 𝑭 𝑭 𝑭 ~( p  q )  ~ p  ~ q ~( p  q )  ~ p  ~ q Sean P y Q fórmulas lógicas. P y Q son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad y en tal caso se denota P  Q . Equivalencias Las siguientes proposiciones son equivalentes: b) 𝑝 → 𝑞  ~ p  q 𝒑 𝒒 𝒑 → 𝒒 ~𝒑 ∨ 𝒒 V V V V V F F F F V V V F F V V d) p  q  ( p → q )  ( q → p ) 𝒑 𝒒 p  q ( p → q )  ( q → p ) V V V V V F F F F V F F F F V V 𝒑 ~(~ p ) V V F F c) ~( p → q )  p  ~ q 𝒑 𝒒 ~( p → q ) p  ~ q V V F F V F V V F V F F F F F F a) p  ~(~ p ) Ejemplos: Nota: Las leyes de Morgan también son proposiciones equivalentes Leyes de Morgan: Si 𝑝 𝑠 ≡ 𝑉 y (𝑝 ∧ 𝑟) → 𝑡 ≡ 𝐹 , determine el valor de verdad de: (𝑠 ∨ 𝑚) → (∼ 𝑝 ∧ 𝑛) ∨ (𝑟 𝑡) Donde m y n son variables proposicionales. Ejercicios Solución Ejercicio 01 Dada la proposición p y las variables proposicionales q , r , s y t , tales que: • p : Todo estudiante de la UPC tiene por lo menos un hermano • [ 𝑟 𝑠 → ~𝑝 ∧ 𝑞 ] (𝑝 ∧ ~𝑟) ∧ (~𝑠 → 𝑡) ≡ 𝑉 Determine el valor de verdad de: [ ~𝑠 ∧ 𝑞 𝑡 ∧ (𝑠 ∧ 𝑝 )] → ~𝑞 ∨ 𝑝 Ejercicios Solución Ejercicio 02