MA265 Sesión 2.1 Cuantificadores[Respuesta]

UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 1 Teoría de Conjuntos CONTENIDO Unidad 1: PRELIMINARES 1.1 Teoría de conjuntos: ▪ Introducción ▪ Conceptos fundamentales ▪ Operaciones con conjuntos UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 2 Teoría de Conjuntos Introducción La noción de conjunto, cuya teoría fue desarrollada a finales del siglo XIX por Georg Cantor, es posiblemente la noción más importante utilizada en las matemáticas modernas. Muchos objetos y conceptos matemáticos (relaciones, funciones, operaciones, grupos, anillos, grafos, espacios vectoriales, geometrías, topologías, los números naturales, etc.) se definen de forma precisa en términos conjuntistas. Por ejemplo, un grupo es un conjunto junto con una operación sobre él que tiene ciertas propiedades. Conceptos Fundamentales Conjunto: En términos informales un conjunto es una colección de objetos. La noción básica para estudiar los conjuntos es la de pertenencia. Por ejemplo: sea H el conjunto de todos los seres humanos y d la persona Diego Ramírez, es claro que d es un miembro o elemento de H ; decimos entonces que d pertenece a H o que d es un elemento de H y escribimos: 𝒅 ∈ 𝑯 . Por el contrario, como el número 𝑐 = 3 no es un ser humano, decimos que c no pertenece a H y escribimos: 𝒄 ∉ 𝑯 . Todo esto es muy sencillo. Sin embargo, para entender la naturaleza y propiedades de los conjuntos, es conveniente hacer las siguientes observaciones: (a) Conocer un conjunto equivale a conocer sus elementos. De esta forma, si A y B son conjuntos que tienen exactamente los mismos elementos, entonces son el mismo conjunto y escribimos A=B . Esto se lee “ A es igual a B ”. (b) La notación de corchetes es una forma común de describir conjuntos. Por ejemplo: si A es el conjunto cuyos elementos son 3 y 5, y no tienen ningún otro elemento, podemos escribir: 𝐴 = {3, 5} . (c) El orden en que listamos los elementos de un conjunto no es importante; por ejemplo: {3, 5} = {5, 3} . En otras palabras, un conjunto se asemeja a una bolsa de dulces distintos que podemos revolver o desordenar sin que cambie su contenido. Al hacerlo no se pierde la información sobre qué dulces pertenecen a la bolsa. UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 3 (d) Si un objeto pertenece a un conjunto pertenece exactamente una vez a él. Por ejemplo: el conjunto {6, 6} tiene exactamente un elemento que es el número 6. Así, {6, 6} = {6} pues ambos conjuntos tienen exactamente los mismos elementos, a saber, 6. Análogamente tenemos que {2, 3, 3, 2, 3} = {2, 3} . (e) Un conjunto puede ser finito o infinito, según tenga un número finito o infinito de elementos. Por ejemplo: el conjunto {1, 3, 5, 7} es finito pues tiene cuatro elementos. En cambio, el conjunto de los números impares positivos {1, 3, 5, 7, … } es infinito, ya que nunca acabaríamos de escribir a todos sus elementos. (f) Un conjunto puede carecer de elementos y cuando tiene esta propiedad se denomina conjunto vacío y se representa ∅ = { } . (g) Si c es una propiedad y x es un objeto, entonces se abreviará la afirmación “ x tiene la propiedad c ” así: 𝑐(𝑥). Por ejemplo, si 𝑐(𝑥) es la propiedad “ x es un caballo”, denotamos el conjunto de los x que tienen la propiedad c , “el conjunto de los caballos”, como: {𝑥: 𝑐(𝑥)}, y lo leemos así: el conjunto de los x tales que c(x) (el conjunto de los x tales que x es un caballo). (h) La notación de los corchetes es conveniente para describir algunos conjuntos, pero hay que ser cuidadosos en su uso. Por ejemplo, podría pensarse que el conjunto {𝑥, 𝑦} es necesariamente un conjunto con dos elementos; sin embargo, si 𝑥 = 𝑦, se tiene entonces que {𝑥, 𝑦} = {𝑥} = {𝑦}, 𝑦 en tal caso sería un conjunto con un único elemento. Representación de un conjunto • Por extensión: encerrando todos sus elementos entre llaves. Ejemplo: ▪ 𝐴 = {2, 4 , 6, 8, … } ▪ 𝐵 = {𝑑, 𝑖, 𝑠, 𝑐, 𝑟, 𝑒, 𝑡, 𝑎} • Por…