MA265 Sesión 2.1 Cuantificadores[Ejercicios]

Matemática Discreta Teoría de conjuntos • Conceptos fundamentales • Operaciones con conjuntos Unidad 1: Teoría de Conjuntos, Lógica proposicional y Relaciones Logro de la sesión Al finalizar la sesión, conocerás los conceptos fundamentales de teoría de conjuntos, estarás preparado para representar conjuntos y subconjuntos; y para realizar operaciones con ellos . Bibliografía • Profesores UPC – Libro digital – Teoría de Conjuntos. • Forero A. (2009). Matemática Estructural . Departamento de Matemáticas Universidad de los Andes Bogotá, D.C-Colombia. Revisar páginas desde 1 hasta 35. • Epp S. (2012). Matemáticas discretas con aplicaciones . México, D.F. Cengage Learning. Revisar páginas desde 336 hasta 382. Bibliografía Multimedia En el siguiente enlace encontraremos algunos vídeos relacionado al tema de Teoría de conjuntos Enlace: [ https://bit.ly/3s4kNo2 ] Bibliografía textos de consulta. Definición : Un conjunto es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se llaman elementos. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Conjuntos Pertenencia : La pertenencia de un elemento x a un conjunto A se denota por: 𝑥 ∈ 𝐴 . Si x no pertenece al conjunto A , se denota por: 𝑥 ∉ 𝐴 . Ejemplos : 𝐵 = 𝑑, 𝑒, 𝑎, 2 𝐴 = 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 1 𝐴 𝐵 𝑎. 𝑏. 𝑐 . 1. 𝑑. 𝑒. 2 . ℕ = 1, 2, 3, 4, … Ejemplo 01: Dado: A = a, b , c, 1 . Halle el valor de verdad de: 𝑎 ∈ 𝐴 , 2 ∉ 𝐴 Ejemplo 02: 𝐵 𝑎. 𝑒 2. 𝑑. 𝑑 ∈ 𝐵 2 ∉ 𝐵 Dado el conjunto B. Halle el valor de verdad de: Verdad Verdad Verdad Falso Por extensión: Encerrando todos sus elementos entre llaves. Representación de un conjunto Por comprensión: Mostrando entre llaves sus propiedades características. 𝐴 = 2, 4 , 6, 8, … 𝐵 = 𝑑, 𝑖, 𝑠, 𝑐, 𝑟, 𝑒, 𝑡, 𝑎 Mediante “Diagramas de Venn ”: Los diagramas de Venn son regiones cerradas del plano que simbolizan conjuntos. 𝐴 = 𝑥/𝑥 son los números pares positivos 𝐵 = 𝑥/𝑥 son las letras que conforman la palabra discreta 𝐴 𝐵 𝑎. 𝑏. 𝑐 . 1. 𝑑. 𝑒. 2 . Conjuntos numéricos ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, … ℤ = … − 2, −1, 0, 1, 2, … ℚ = 𝑝 𝑞 / 𝑝 ∈ ℤ, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0 𝕀 = 𝑥/𝑥 ≠ 𝑝 𝑞 , 𝑝 ∈ ℤ, 𝑞 ∈ ℤ ℝ = ℚ ∪ 𝕀 , además se cumple: ℚ ∩ 𝕀 = ∅ Conjunto de los números Naturales ℕ . Conjunto de los números Enteros ℤ . Conjunto de los números Racionales ℚ Conjunto de los números Irracionales 𝕀 Conjunto de los números Reales ℝ ℕ ℤ ℚ 𝐼 ℝ 2. 1. 5. 3. 4. -5. -2. -14. 2/3. -3/4. 2,3333. 5,6. √2 . √3 . √5 . 𝜋 . 𝜖 . Conjunto de los números ℕ, ℤ , ℚ, 𝕀 y ℝ Definición : Si A es un conjunto finito, se define la cardinalidad (o tamaño) de A como: Cardinalidad e igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales ( A=B ), si tienen los mismos elementos. | A |: número de elementos del conjunto A . Ejemplos: 𝐴 = −1, 0, 1 |𝐴| = ____ 𝐵 = −4, −2, 0, 5, 8, 12 |𝐵| = ____ ∅ no tiene elementos |∅| = ____ Definición : 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐 , Ejemplos: 𝐴 = 𝑐, 𝑏, 𝑎, 𝑎 ¿El conjunto A y B son iguales? 3 6 0 Verdadero. Pues, 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 y B = 𝑎, 𝑏, 𝑐 Subconjuntos Definición: Supongamos que A y B son conjuntos. Si todo elemento de A es un elemento de B , se dice que A es un subconjunto de B y se escribe A ⊆ B . Propiedades: El conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. Cualquier conjunto A es subconjunto de si mismo ( A ⊆ A ). Ejemplos: Dado los conjuntos 𝐴 = 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 1 y 𝐵 = 𝑎, 𝑏 1. ¿ qué conjunto está incluido dentro del otro? 2. Represente gráficamente ambos conjuntos Solución : Conjunto vacío: Es el conjunto que no tiene elementos y se denota por { } o por el símbolo ∅ . Conjunto Universal U: El conjunto universal U es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. El vacío ∅ está incluido en todos los conjuntos. 1. B ⊆ 𝐴 𝑎. 𝑏. 1 . c . 𝑨 𝑩 2. El conjunto de todos los subconjuntos (propios o no) de un conjunto A , se denota por P ( A ), se llama “ conjunto potencia de A ” Conjunto Potencia Si | A | = n , entonces | P ( A )| = 2 n…