Respuestas inducción

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Respuestas a) Verdadero , existen personas extranjeras que viven en el Cusco. b) Falso , Cálculo I es prerrequisito de Cálculo II. c) Verdadero , uno de ellos Rusia 2018. 2. Respuestas a) Verdadero b) Verdadero c) Falso , si tomamos a 1 ∈ 𝐴 notamos que 1 − 4 = −3 ∉ ℕ 3. Respuestas a) Verdadero , tomemos a 𝑥 = 6 ∈ 𝐴 , vemos que 6 es múltiplo de 3. b) Falso , un contra ejemplo será tomar 𝑥 = 2 ∈ 𝐴 , entonces 4 × 2 + 7 es impar c) Verdadero . Encontremos a un elemento que cumpla. En este caso cumple 𝑥 = 3 4. Respuestas a) Falso b) Verdadero 5. verdadera justificación Tomemos los proposicionales 𝑟(𝑥) y 𝑠(𝑥) como sigue: 𝑟(𝑥): [(𝑥 − 7)(𝑥 − 3)(𝑥 − 6) ≤ 0] 𝑠(𝑥): [𝑥 + 3 ≥ 0] . Tenemos que verificar para todos los elementos de A, la operación 𝑟(𝑥) ↔ 𝑠(𝑥) es verdadera. 𝑥 ∈ 𝐴 𝑟(𝑥) 𝑠(𝑥) 𝑟(𝑥) ↔ 𝑠(𝑥) . 𝑥 = 7 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 = 3 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 = 2 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 = 1 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 = −1 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 = −2 𝑉 𝑉 𝑉 Notamos que todos los elementos cumplen, por tanto, la proposición es verdadera. 6. verdadera justificación Tomemos los proposicionales 𝑟(𝑥) y 𝑠(𝑥) como sigue: 𝑟(𝑥): [(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)𝑥 = 0] 𝑠(𝑥): [𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 0] . Tenemos que verificar que cumpla al menos un elemento de A, la operación 𝑟(𝑥) ↔ 𝑠(𝑥) es verdadera. 𝑥 ∈ 𝐴 𝑟(𝑥) 𝑠(𝑥) 𝑟(𝑥) ↔ 𝑠(𝑥) . 𝑥 = −2 𝑉 𝐹 𝐹 𝑥 = −1 𝑉 𝐹 𝐹 𝑥 = 0 𝑉 𝐹 𝐹 𝑥 = 1 𝑉 𝐹 𝐹 𝑥 = 2 𝐹 𝐹 𝑉 Note que hemos encontrado un elemento 𝑥 = 2 ∈ 𝐴 , tal que la proposición 𝑟(2) ↔ 𝑠(2) es verdadera. Como el cuantificador es existencial entonces la proposición es verdadera. 7 . a) Verdadera Justificación Verifique que: 𝐴 ⊕ 𝐵 = {6; 9; 24; 36} , Tomemos los proposicionales 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) como sigue: 𝑝(𝑥): MCD(𝑥, 12) = 3 𝑞(𝑥): 𝑥 un número primo Como el cuantificador es existencia solo bastará encontrar un elemento en 𝐴⨂𝐵 que cumpla la proposición 𝑝(𝑥) ↔ 𝑞(𝑥) . En este caso quien cumple es 𝑥 = 6 . Por tanto la proposición es verdadera. 7 . b) Verdadera Justificación Verifique que: 𝐴 ∩ 𝐵 = {12; 15; 18} , Tomemos los proposicionales 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) como sigue: 𝑝(𝑥): (𝑥|5) 𝑞(𝑥): MCM(𝑥, 12) = 60 El cuantificador es universal, debemos verificar que todos los elementos de la intersección cumplan. 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) 𝑝(𝑥) → 𝑞(𝑥) . 𝑥 = 12 𝐹 𝐹 𝑉 𝑥 = 15 𝑉 𝑉 𝑉 𝑥 = 18 𝐹 𝐹 𝑉 De acuerdo a la tabla, todos los elementos de la intersección cumplen, por tanto, la proposición en b) es verdadera. 𝑥 ∈ 𝐴 ⊕ 𝐵 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) 𝑝(𝑥) ↔ 𝑞(𝑥) . 𝑥 = 6 𝐹 𝐹 𝑉 8. Parte a) primero veremos lo que tiene la intersección. 𝐴 ∩ 𝐵 = {2; 4} 𝑝(𝑥): 𝑥 2 − 3𝑥 = 0 𝑞(𝑥): (𝑥 + 1 ≥ 0) El cuantificador es universal, debemos verificar que todos los elementos de la intersección cumplan. 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) 𝑝(𝑥) → 𝑞(𝑥) . 𝑥 = 2 𝐹 𝑉 𝐹 Vemos que con 𝑥 = 2 , es falso, por tanto no es necesario probar con los demás valores de la intersección para decir que es Falso el ítem (a) Parte b) Primero veremos la unión 𝐴 ∪ 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8} 𝑝(𝑥): (𝑥 − 3 > 0) 𝑞(𝑥): (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) 𝑝(𝑥) ↔ 𝑞(𝑥) . 𝑥 = 1 𝐹 𝑉 𝐹 𝑥 = 2 𝐹 𝐹 𝑉 Vemos que para 𝑥 = 2, es verdadero, entonces podemos detenernos ahí y afirmar que: La proposición del item (b) es verdadera. 9. a) ~𝑝 ≅ ∃𝑥 ∈ 𝐴 / (5𝑥 2 + 𝑥 3 > 0) ∧ (2𝑥 − 1 ≠ 0) b) ~𝑞 ≅ ∀𝑥 ∈ 𝐴/(2𝑥 + 1 < 0) ∨ [(𝑥(2𝑥 + 1)(4𝑥 + 1) ≠ 0) ∧ (𝑥 ≥ 4)] c) ~𝑟 ≅ ∀𝑥 > 0 , (𝑥 2 + 3𝑥 < 0) ∧ (𝑥 ≠ 4) d) ~𝑠 ≅ ∃ 𝑥 ∈ ℕ / (3𝑥 + 1 < 2) ∨ (𝑥(𝑥 − 4) ≤ 3) e) ~𝑡 ≅ ∃ 𝑥 ≤ 0 / (𝑥 2 − 𝑥 + 4) > 1 ∧ (𝑥 − 4)𝑥 > 0) f) ~𝑣 ≅ ∀𝑥 < 0 , (2𝑥 2 + 𝑥 ≤ 0) 10. Si 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} y 𝐵 = {𝑥/(2𝑥 − 1) ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝑁} , determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando sus respuestas. ∃ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∕ [(𝑀𝐶𝐷(𝑥, 6) = 2) ↔ (𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠)] ≡ 𝑉 ∀ 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵), [(𝑀𝐶𝑀(𝑥, 6) = 12) → (𝑀𝐶𝑀(𝑥, 4) = 8)] ≡ 𝐹 11. Si 𝐴 = {𝑥 𝜖𝑍/ 𝑥 > −1, 3 ≥ 𝑥} y 𝐵 = {𝑥/(2𝑥 + 1) ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝑍} ,…