RESPUESTAS DE EJERCICIOS PROPUESTOS

Matemática Discreta Ejercicios propuestos de Relaciones, Definición y Representación 1. En el conjunto 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} se define la siguiente relación: 𝑇 = {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (2; 1), (2; 4), (3; 1), (3; 4), (3; 5), (4; 2), (4; 3), (5; 3)} a) Determine el Dominio y Rango de la relación 𝑇 . b) Determine la matriz 𝑀 𝑇 . c) Trace el dígrafo asociado a la relación 𝑇 . d) Halle el grado interno y externo de cada elemento del conjunto 𝐴 . e) Determine las relaciones 𝑇 2 y 𝑇 ∞ . 2. Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} se define la relación S en A de la siguiente manera: 𝑎𝑆𝑏 ⟺ |𝑎 − 𝑏| es divisible entre 3 a) Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que componen la relación 𝑆 . Indique el Dominio y Rango de 𝑆 . b) Determine la matriz 𝑀 𝑆 . c) Trace el dígrafo asociado a la relación 𝑆 . d) Halle el grado interno y externo de cada uno de sus vértices. e) Determine las matrices 𝑀 𝑆 2 y 𝑀 𝑆 ∞ . 3. Dado el conjunto 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} se define la relación 𝑆 en 𝐴 de la siguiente manera: 𝑎𝑆𝑏 ⟺ 𝑎 + 𝑏 es divisible entre 4 a) Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que componen la relación 𝑆 . Indique el Dominio y Rango de 𝑆 . b) Determine la matriz 𝑀 𝑆 . c) Trace el dígrafo asociado a la relación 𝑆 . d) Halle el grado interno y externo de cada uno de sus vértices. e) Determine las relaciones 𝑆 3 𝑦 𝑆 ∞ . 4. Dado el conjunto 𝐴 = {2; 3; 4; 6; 12} se define la relación S en A de la siguiente manera: 𝑥𝑆𝑦 ⟺ 𝑥 divide a 𝑦 a) Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que componen la relación 𝑆 . Indique el Dominio y Rango de 𝑆 . b) Determine la matriz 𝑀 𝑆 . c) Trace el dígrafo asociado a la relación 𝑆 . d) Halle el grado interno y externo de cada uno de sus vértices. e) Determine las matrices 𝑀 𝑆 4 y 𝑀 𝑆 ∞ . 5. El siguiente dígrafo representa la relación 𝑅 definida en el conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 }. Matemática Discreta a. Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que componen la relación 𝑅 . Indique el Dominio y Rango de 𝑅 . b. Determine la matriz 𝑀 𝑅 c. Halle el grado interno y externo de cada elemento del conjunto 𝐴. d. Determine las relaciones 𝑅 2 y 𝑅 ∞ 6. Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} y 𝑅 una relación sobre el conjunto 𝐴 , cuya representación matricial se indica: a) Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que componen la relación 𝑅 . Indique el Dominio y Rango de 𝑅 . b) Trace el dígrafo asociado a la relación 𝑅. Indique el grado interno y externo de cada uno de sus vértices. c) Determine las matrices 𝑀 𝑅 2 y 𝑀 𝑅 ∞ 7. Se tienen las siguientes relaciones 𝑅 y 𝑆 sobre 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔} definidas mediante su matriz y dígrafo respectivamente. Matriz de 𝑅 Dígrafo 𝑆 Matemática Discreta a) Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que componen la relación 𝑆 . Indique el Dominio y Rango de 𝑆 b) Indique el grado interno y externo de cada elemento del conjunto 𝐴 para cada relación c) El par ordenado (𝑓, 𝑔) , ¿pertenece a 𝑅 3 ? d) El par ordenado (𝑑, 𝑎) , ¿pertenece a 𝑅 ∞ ? 8. En el conjunto 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} se define la siguiente relación: 𝑇 = {(1; 2), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (3; 3), (4; 7), (3; 2), (5; 7), (2; 7), (7; 1), (6; 3), (6; 4), (3; 5), (6; 5), (6; 2), (6; 1), (5; 3), (7; 7), (6; 6), (5; 5)} a) Halle el grado interno y el grado externo de cada elemento del conjunto 𝐴 . b) Determine las relaciones 𝑇 3 y 𝑇 ∞ en notación de conjuntos. 9. Sea el conjunto 𝐴 = {1; 2; 3; 4}. Se establece la relación binaria 𝑅 definida en 𝐴 por: 𝑅 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 2), (4; 3), (4; 4)} y la relación 𝑆 definida en 𝐴 por el dígrafo mostrado: a) Determine 𝑀 𝑅 y 𝑀 𝑆 b) Trace el dígrafo de 𝑅 c) Determine las matrices 𝑀 𝑅 2 y 𝑀 𝑆 ∞ 10. Dada la relación 𝑇 = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,2), (4,2)} definida sobre el…