MA265 Semana 2.2b Invariante de un algoritmo

Matemática Discreta Guía de ejercicio 04 Tema: Cuantificadores 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a) Alguna persona que vive en el Cusco no es peruana. b) Algún alumno de Ingeniería de la UPC lleva Cálculo II sin haber aprobado Cálculo I. c) Por lo menos una vez el equipo de fútbol peruano participó en un campeonato mundial de fútbol. 2. Dado el conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 es un número natural. b) ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 2 𝑥 + 6 es un número natural. c) ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 − 4 es un número natural. 3. Dado el conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ∃𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥 es un número múltiplo de 3. b) ∃𝑥 ∈ 𝐴 / 4 𝑥 + 7 es un número par. c) ∃𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥 2 + (𝑥 + 1) 2 es un cuadrado perfecto. 4. Dado el conjunto 𝐴 = {−2, −1, − 1 2 , − 1 4 , 0 } determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) 𝑝: ∀𝑥 ∈ 𝐴, (𝑥 2 + 𝑥 = 0) ∨ (2𝑥 + 1 ≤ 0) b) 𝑞: ∃𝑥 ∈ 𝐴/( 𝑥 + 1 ≥ 0) ↔ (𝑥(4𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) = 0) 5. Dado el conjunto 𝐴 = {7; 3; 2; 1; −1; −2} , dar el valor de verdad de la siguiente proposición: 𝑝: ∀𝑥 ∈ 𝐴, [((𝑥 − 7)(𝑥 − 3)(𝑥 − 6) ≤ 0) ↔ (𝑥 + 3 ≥ 0)] 6. Dado el conjunto 𝐴 = {−2; −1; 0; 1; 2; 3} , dar el valor de verdad de la siguiente proposición: 𝑝: ∃𝑥 ∈ 𝐴, [((𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)𝑥 = 0) ↔ (𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 0)] 7. Dado los conjuntos 𝐴 = {6; 9; 12; 15; 18} y 𝐵 = {12; 15; 18; 24; 36} , determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando sus respuestas. a) ∃𝑥 ∈ (𝐴 ⊕ 𝐵)/[(MCD(𝑥, 12) = 3) ↔ (𝑥 un número primo)] b) ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵), [(𝑥|8) → (MCM(𝑥, 12) = 60)] 8. Dados los conjuntos 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} y 𝐵 = {0; 2; 4; 6; 8} , determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justificar sus respuestas. a) 𝑝: ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵), [(𝑥 2 − 3𝑥 = 0) → (𝑥 + 1 ≥ 0)] , b) 𝑞: ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)[(𝑥 − 3 > 0) ↔ ((𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0)] Matemática Discreta 9. ¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones? a. 𝑝 ≅ ∀𝑥 ∈ 𝐴, (5𝑥 2 + 𝑥 3 ≤ 0) ∨ (2𝑥 − 1 = 0) b. 𝑞 ≅ ∃𝑥 ∈ 𝐴/(2𝑥 + 1 ≥ 0) ∧ [(𝑥(2𝑥 + 1)(4𝑥 + 1) = 0) ∨ (𝑥 < 4)] c. 𝑟 ≅ ∃ 𝑥 > 0 : (𝑥 2 + 3𝑥 < 0) → (𝑥 = 4) d. 𝑠 ≅ ∀𝑥 ∈ ℕ / (3𝑥 + 1 ≥ 2) ∧ (𝑥(𝑥 − 4) > 3) e. 𝑡 ≅ ∀𝑥 ≤ 0 / ~ (𝑥 2 − 𝑥 + 4) > 1 ∨ (𝑥 − 4)𝑥 ≤ 0) f. 𝑣 ≅ ∃ 𝑥 < 0 : (2𝑥 2 + 𝑥 > 0) . 10. Si 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} y 𝐵 = {𝑥/(2𝑥 − 1) ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝑁} , determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando sus respuestas. ∃ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ∕ [(𝑀𝐶𝐷(𝑥, 6) = 2) ↔ (𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠)] ∀ 𝑥 ∈ (𝐴 − 𝐵), [(𝑀𝐶𝑀(𝑥, 6) = 12) → (𝑀𝐶𝑀(𝑥, 4) = 8)] 11. Si 𝐴 = {𝑥 𝜖𝑍/ 𝑥 > −1, 3 ≥ 𝑥} y 𝐵 = {𝑥/(2𝑥 + 1) ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝑍} , determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando sus respuestas. ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ⊕ 𝐵/ [(𝑚í𝑛{𝑥; 3} = 𝑥) → (𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 2)] ∀ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ), [(𝑚á𝑥{𝑥; 5} = 5) ↔ 𝑀𝐶𝐷(𝑥; 15): 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟)]