1AMA265 Asesoría virtual Semana 03

Resumen de Relaciones de Recurrencia Sucesión: L as sucesiones recurrentes son aquellas cuyos términos se obtienen operando con los términos anteriores. Ejemplo: a) 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 3 . 𝑛 ≥ 1 , con 𝑎 0 = 2 . (Forma recurrente) b) 𝑏 𝑛 = 𝑏 𝑛−1 + 2𝑏 𝑛+2 . 𝑛 ≥ 2 , con 𝑏 0 = 2, 𝑏 1 = 1 . (Forma recurrente) A continuación, veamos las sucesiones anteriores en forma explícita. a) {𝑎 𝑛 } 𝑛≥0 = 2; 5; 8; 11; 14; … (Forma explícita) b) {𝑏 𝑛 } 𝑛≥0 = {2; 1; 5; 7; 17; 31; … } (Forma explícita) Fórmula explicita: Podemos encontrar el término 𝑎 𝑛 de una forma recurrente, en una fórmula explicita, para esto deberemos a) 𝑎 𝑛 = 2 + 3𝑛, con 𝑛 ≥ 0 . (Fórmula explícita) b) 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 + 2 𝑛 . con 𝑛 ≥ 0 , (Fórmula explícita) Relaciones de recurrencia de orden K Una relación de recurrencia de orden K tiene la siguiente forma, donde 𝑐 𝑘 ≠ 0 distinto de cero. Ejemplo: Halle la fórmula explicita de la siguiente sucesión recurrente: a) 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 2 . 𝑛 ≥ 1 , con 𝑎 0 = 1 . b) 𝑏 𝑛 = 𝑏 𝑛−1 + 3 . 𝑛 ≥ 1 , con 𝑏 0 = 4 . 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 𝑎 1 = 𝑎 0 + 2 = 1 + 2 𝑎 2 = 𝑎 1 + 2 = (1 + 2) + 2 = 1 + 2 × 2 𝑎 3 = 𝑎 2 + 2 = (1 + 2 × 2) + 2 = 1 + 2 × 3 𝑎 4 = 𝑎 3 + 2 = (1 + 2 × 3) + 2 = 1 + 2 × 4 … 𝑎 𝑛 = 1 + 2𝑛 , 𝑛 ≥ 0 Fórmula explicita Solución b: 𝑏 1 = 𝑏 0 + 3 = 4 + 3 𝑏 2 = 𝑏 1 + 3 = (4 + 3) + 3 = 4 + 2 × 3 𝑏 3 = 𝑏 2 + 3 = (4 + 2 × 3) + 3 = 4 + 3 × 3 𝑏 4 = 𝑏 3 + 3 = (4 + 3 × 3) + 3 = 4 + 3 × 4 … 𝑏 𝑛 = 4 + 3𝑛 , 𝑛 ≥ 0 Fórmula explicita Solución b: Relaciones de recurrencia de orden 2 Una relación de recurrencia de orden 2 tiene la siguiente forma, donde 𝑐 2 es distinto de cero. 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 1) Relación de recurrencia lineal homogénea de orden 2 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 2) Ecuación característica asociada 𝑡 2 − 𝑐 1 𝑡 − 𝑐 2 = 0 3) Si tiene dos raíces reales distintas 𝑠 1 y 𝑠 2 , entonces la fórmula explícita es 𝑎 𝑛 = 𝛼( 𝑠 1 ) 𝑛 + 𝛽( 𝑠 2 ) 𝑛 4) Si tiene dos raíces iguales s, entonces la fórmula explícita es 𝑎 𝑛 = 𝛼( 𝑠) 𝑛 + 𝛽𝑛( 𝑠) 𝑛 Ejemplo: Halle por la fórmula explicita de la siguiente sucesión recurrente: a) 𝑎 𝑛 = −𝑎 𝑛−1 +6𝑎 𝑛−2 ; 𝑛 ≥ 2, con 𝑎 0 = 1, 𝑎 1 = −2. . b) 𝑏 𝑛 = −2𝑏 𝑛−1 − 𝑏 𝑛−2 ; 𝑛 ≥ 2, con 𝑏 0 = 1, 𝑏 1 = 1 . Primer paso: Cambiamos 𝑎 𝑛 = 𝑡 𝑛 , entonces tenemos: 𝑡 𝑛 = −𝑡 𝑛−1 + 6𝑡 𝑛−2 Hacemos 𝑛 − 2 = 0 Remplazando 𝑛 = 2 : 𝑡 2 + 𝑡 − 6 = 0. Hallamos sus raíces (𝑡 − 2)(𝑡 + 3) = 0 𝑡 = 2 , 𝑡 = −3 Las raíces son diferentes entonces usamos: 𝑎 𝑛 = 𝛼(2) 𝑛 + 𝛽(−3) 𝑛 Hallamos 𝛼 y 𝛽 , usando los términos iniciales. de 𝑎 0 = 1, tenemos: 𝛼(2) 0 + 𝛽(−3) 0 = 1 de 𝑎 1 = −2, tenemos: 𝛼(2) 1 + 𝛽(−3) 1 = −2 Resolviendo el siguiente sistema: { 𝛼 + 𝛽 = 1 2𝛼 − 3𝛽 = −2 𝛼 = 1/5 y 𝛽 = 4/5 . Por tanto, La fórmula explicita es: 𝑎 𝑛 = 1 5 (2) 𝑛 + 4 5 𝛽(−3) 𝑛 , 𝑛 ≥ 0 Solución a: b ) 𝑏 𝑛 = −2𝑏 𝑛−1 − 𝑏 𝑛−2 ; 𝑛 ≥ 2, con 𝑏 0 = 1, 𝑏 1 = 1 . Primer paso: Cambiamos 𝑏 𝑛 = 𝑡 𝑛 , entonces tenemos: 𝑡 𝑛 = −2𝑡 𝑛−1 − 𝑡 𝑛−2 Hacemos 𝑛 − 2 = 0 Remplazando 𝑛 = 2 : 𝑡 2 + 2𝑡 + 1 = 0. Hallamos sus raíces (𝑡 + 1) 2 = 0 𝑡 = −1 , (multiplicidad 2) Las raíces son iguales entonces usamos: 𝑎 𝑛 = 𝛼(−1) 𝑛 + 𝛽𝑛(−1) 𝑛 Hallamos 𝛼 y 𝛽 , usando los términos iniciales. de 𝑏 0 = 1, tenemos: 𝛼 + 𝛽. 0 = 1 de 𝑏 1 = 1, tenemos: 𝛼(−1) + 𝛽(1)(−1) 1 = 1 Resolviendo el siguiente sistema, se obtiene: 𝛼 = 1 y 𝛽 = −2 . Por tanto, La fórmula explicita es: 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 + 2𝑛(−1) 𝑛 , 𝑛 ≥ 0 Solución b: Ejercicios resueltos: Halle por la fórmula explicita de la siguiente sucesión recurrente: a) 2𝑎 𝑛 = −𝑎 𝑛−1 +𝑎 𝑛−2 ; 𝑛 ≥ 2, con 𝑎 0 = 3, 𝑎 1 = 0. Cambiamos 𝑏 𝑛 = 𝑡 𝑛 : 2𝑡 𝑛 = −𝑡 𝑛−1 + 𝑡 𝑛−2 Hacemos 𝑛 − 2 = 0 → 2𝑡 2 + 𝑡 − 1 = 0. Hallamos sus raíces 𝑡 = 1/2 ; 𝑡 = −1 Las raíces son diferentes entonces usamos: 𝑎 𝑛 = 𝛼(1/2) 𝑛 + 𝛽(−1) 𝑛 Hallamos 𝛼 y 𝛽 , usando los términos iniciales. de 𝑎 0 = 3, tenemos: 𝛼 + 𝛽 = 3 de 𝑎 1 = 0, tenemos: 𝛼(1/2) +…