MA265 Sesión 3.2 Ejercicios-Relaciones - Propiedades

Matemática Discreta Unidad N ° 2: Lógica y Algoritmos • Sucesiones recurrentes Logro de la sesión Al finalizar la sesión, estarás preparado para : Determinar la fórmula explícita de una sucesión a partir de una recurrencia lineal homogénea . Relación de recurrencia En matemática, una relación de recurrencia es una ecuación que define una secuencia recursiva ; cada término de la secuencia es definido como una función de términos anteriores. Una relación de recurrencia para una sucesión una fórmula que expresa cada término 𝑎 𝑛 , en función de uno o más de los términos que le preceden, a partir un valor inicial con índice 𝑛 0 ∈ ℕ . Ejemplo: Un ejemplo de una relación de recurrencia es el siguiente : 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 (1 − 𝑎 𝑛 ) , con 𝑎 0 = 2 Ejemplo de recurrencia En una sucesión con relación de recurrencia, podemos expresar cada uno de estos términos en su fórmula explicita . 1. Ejemplos particulares Una relación de recurrencia es la progresión aritmética : 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 𝑑 , con valor inicial 𝑎 0 𝑎 0 + 𝑑, 𝑎 0 + 2 𝑑, 𝑎 0 + 3 𝑑, … 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 Note que la fórmula explicita es: 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟎 + 𝒏 𝒅 Ejemplo de recurrencia En una sucesión con relación de recurrencia, podemos expresar cada uno de estos términos en su fórmula explicita . Otra relación de recurrencia es la progresión geométrica : cuyos términos también dependen del anterior, 𝑎 𝑛 = 𝑟 × 𝑎 𝑛−1 , con valor inicial , 𝑎 0 , 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 Note que fórmula explicita es: 𝒂 𝒏 = 𝒓 𝒏 𝒂 𝟎 𝑟 × 𝑎 0 , 𝑟 2 𝑎 0 , 𝑟 3 𝑎 0 , . . . 2. Ejemplos particulares Una técnica para encontrar una fórmula explícita para la sucesión definida por una relación de recurrencia es el análisis hacia atrás (o análisis regresivo) . Ejemplos : a n = a n - 1 + 3 , para n  2 y a 1 = 2 . a n = a n - 1 + 3 = ( a n - 2 + 3 ) + 3 = a n - 2 + 2  3 = ( a n - 3 + 3 ) + 2  3 = a n - 3 + 3  3 ⋮ = a n - ( n - 1 ) + ( n - 1 )  3 = a 1 + ( n - 1 )  3 ∴ a n = 2 + ( n - 1 )  3 , para n  1 Relación de recurrencia Es una relación de recurrencia de la forma : a n = c 1 a n - 1 + c 2 a n - 2 + ... + c k a n - k donde c k son constantes diferentes de cero . Ejemplos : • s n = 2 s n - 1 , es una relación de recurrencia lineal homogénea de orden 1 . • a n = a n - 1 + 3 , no es una relación de recurrencia lineal homogénea . • f n = f n - 1 + f n - 2 , es una relación de recurrencia lineal homogénea de orden 2 . Recurrencia homogénea lineal de orden k Para transformar una relación de recurrencia lineal homogénea a una fórmula explícita empleamos el cambio a n = t n y aplicar los siguientes pasos : Fórmula explícita Determine la fórmula explícita a partir de la recurrencia : a n = 5 a n – 1 – 6 a n – 2 , para n  2 y con a 0 =7, a 1 =16. Solución . Ejemplo Sea p n el número aproximado de bacterias que hay en un cultivo después de n horas de iniciado un experimento . Si p 1 = 1 000, p 2 = 2 000 y p n = 4 p n - 1 – 4 p n - 2 para n>2, ¿es posible determinar la fórmula explícita para p n ? Reflexión