1AMA0265 Sesion 3.1 Relaciones - Propiedades[Diapo]

Lógica - ejercicios Matemática Discreta • Lógica proposicional Unidad 1: Teoría de Conjuntos, Lógica proposicional y Relaciones Determine la tabla de verdad de la siguiente proposición e indique su tipo: [( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ∧ 𝑟 ] → [( 𝑝 ∧ 𝑞 ) ∨∼ 𝑟 ] Ejercicio 01 Dadas las variables proposicionales 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 , 𝑠 , 𝑡 . Se sabe que: [( 𝑟 𝑠 ) → ( ∽ 𝑝 ∧ 𝑞 )] [( 𝑞 ∨∽ 𝑟 ) ∧ ( ∼ 𝑠 → 𝑡 )] es verdadera y que: [p ∨∼ p] ∧ [(q → ∼ r) ∨ (r ∼ s)] es falsa. Determine el valor de verdad de: [( ∼ 𝑠 → 𝑞 ) ( 𝑡 ∧ ( 𝑠 ∧∼ 𝑞 ))] → [ ∼ 𝑞 ∨ 𝑝 ] Ejercicio 02 Matemática Discreta Cuantificadores • Funciones proposicionales • Cuantificador Universal • Cuantificador Existencial Unidad 1: Teoría de Conjuntos, Lógica proposicional y Relaciones Logro de la sesión Al finalizar la sesión, el estudiante determina el valor de verdad de funciones proposicionales y emplea correctamente los cuantificadores. Bibliografía • Profesores UPC – Libro digital – Cuantificadores • EPP, Susanna. (2012) Matemáticas discretas con aplicaciones. México, D.F.: Cengage Learning. Bibliografía textos de consulta. M ultimedia. https://bit.ly/3yaTaMn • Ésta es la capital de Perú • x+2 es mayor que 4 Función proposicional Las siguientes oraciones son enunciados abiertos: Pues el valor de verdad, dependerá del sujeto. • “ Ésta = Lima ”, entonces tendremos que “ Lima es la capital de Perú ” (V) • x =1, entonces tendremos que “1+2 es mayor que 4” (F) Predicado Sujeto Sujeto Predicado Estos enunciados abiertos reciben el nombre de Función proposicional o predicado , pues su valor de verdad dependerá de quién sea el sujeto, al sujeto generalmente se le representa con una variable 𝑥 . Observación: Función proposicional Sea 𝑃(𝑥) una oración abierta que depende de la variable 𝑥 y sea 𝐷 un conjunto que contiene 𝑥 . 𝑃(𝑥) se llama “ función proposicional” o predicado (respecto de D ), si para cada 𝑥 en 𝐷 , se tiene que 𝑃(𝑥) es una proposición. Simbolización de una Función proposicional: 𝑃 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷 Ejemplo 01 𝑃 𝑥  "(𝑥 + 2) es mayor que 4”, con 𝑥 ∈ ℕ ” Si 𝑥 = 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 2 𝑒𝑠 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 . Si 𝑥 = 3, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 3 𝑒𝑠 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 . Ejemplo 02 𝑃 𝑥  " 𝑥 2 > 𝑥", con 𝑥 ∈ ℝ Note que el valor de verdad de 𝑃 𝑥 , depende de los valores 𝑥 en ℝ Si 𝑥 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 1 𝑒𝑠 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 . Si 𝑥 = 1/2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃 1/2 𝑒𝑠 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 . Note que el valor de verdad de 𝑃 𝑥 , depende de los valores 𝑥 en ℕ. Cuantificadores A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la variable 𝑥 , introducimos los símbolos: ∀ Cuantificador Universal ∃ Cuantificador Existencial 1.- Todos los gatos tienen cola 2.- A algunas personas les gusta la carne cruda 3.- Todo el mundo tiene un descanso de vez en cuando Considere las siguientes frases ( proposiciones generales ): Introducción a los cuantificadores “ Para toda 𝒙 ∈ 𝑫, 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑷(𝒙)” Cuantificador Universal Sea P una función proposicional con dominio en D . Se dice que la afirmación: es una afirmación cuantificada universalmente . Notación:  𝒙 ∈ 𝑫, 𝑷(𝒙) • La afirmación  𝑥 ∈ 𝐷, 𝑃(𝑥) es verdadera , si 𝑃(𝑥) es verdadera para toda x en 𝐷 . • La afirmación  𝑥 ∈ 𝐷, 𝑃(𝑥) es falsa , si 𝑃(𝑥) es falsa para al menos una x en 𝐷 . • Notación para negar Q : 𝑄 ≡  𝑥 ∈ 𝐷, 𝑃(𝑥) ~Q ≡ ∃𝑥 ∈ 𝐷 / ~𝑃(𝑥) Observación: Las palabras: todo , cada uno , todos y ninguno , son consideradas cuantificadores universales. Cuantificador Universal Ejemplos a) Ninguna persona que vive en el Cusco es peruana. b) Todo alumno de Ingeniería de software de la UPC puede llevar Matemática computacional sin haber aprobado Matemática Discreta. c) ∀𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 es positivo d) ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 es par