MA265 Sesión Respuestas de los ejercicios - Manipulación

Respuestas 1. Prueba de inducción • 𝑃(1) es verdadero: 1 × 2 1 = (1 − 1)2 1+1 + 2 . • Supongamos que 𝑃(𝑛) es verdadero: 1 × 2 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + ⋯ + 𝑛 × 2 𝑛 = (𝑛 − 1)2 𝑛+1 + 2 • Probemos que 𝑃(𝑛 + 1) es verdadero, es decir que se cumple la siguiente igualdad 1 × 2 + 2 × 2 2 + ⋯ + 𝑛 × 2 𝑛 + (𝑛 + 1) × 2 𝑛+1 = ((𝑛 + 1) − 1)2 (𝑛+1)+1 + 2 1 × 2 + 2 × 2 2 + ⋯ + 𝑛 × 2 𝑛 + (𝑛 + 1) × 2 𝑛+1 = ( 𝑛 − 1 ) 2 𝑛+1 + 2 + ( 𝑛 + 1 ) × 2 𝑛+1 = ((𝑛 − 1) + ( 𝑛 + 1 ) )2 𝑛+1 + 2 = (2𝑛)2 𝑛+1 + 2 = (𝑛)2 (𝑛+1)+1 + 2 = ( ( 𝑛 + 1 ) + 1)2 (𝑛+1)+1 + 2 Así, 𝑃(𝑛 + 1) es verdadero. Por tanto, 𝑃(𝑛) se cumple para todo 𝑛 natural. 2. Prueba de inducción • 𝑃(1) es verdadero, pues 2 = 1(1 + 1) • Supongamos que 𝑃(𝑛) es verdadero: 2 + 4 + 6+. . . +2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) • Probemos para 𝑃(𝑛 + 1) que es verdadero, es decir probemos que la siguiente igualdad se cumple: 2 + 4 + 6+. . . +2𝑛 + 2(𝑛 + 1) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) En efecto: 2 + 4 + 6+. . . +2𝑛 + 2(𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1) + 2(𝑛 + 1) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) Por tanto, se cumple lo que queríamos probar. En la última desigualdad se ha factorizado “n+1” y luego llegamos al resultado deseado. 3. Prueba por inducción • 𝑃(1) es verdadero: 2 = 1(5 × 1−1) 2 • Supongamos que 𝑃(𝑛) es verdadero: 2 + 7 + 12+. . . +(5𝑛 − 3) = 𝑛(5𝑛 − 1) 2 • Probemos para 𝑃(𝑛 + 1) que es verdadero, es decir probemos que la siguiente igualdad se cumple: 2 + 7 + 12+. . . +(5𝑛 − 3) + (5(𝑛 + 1) − 3) = (𝑛 + 1)(5(𝑛 + 1) − 1) 2 Note qué: La última expresión es igual a (𝑛+1)(5(𝑛+1)−1) 2 = 5𝑛 2 +9𝑛+4 2 . Solo bastará está última parte en nuestra demostración para validar la prueba de 𝑃(𝑛 + 1) En efecto, Realizamos la prueba a continuación: 2 + 7 + 12+. . . +(5𝑛 − 3) + (5(𝑛 + 1) − 3) = 𝑛(5𝑛 − 1) 2 + (5(𝑛 + 1) − 3) = 𝑛(5𝑛 − 1) + 10𝑛 + 4 2 = 5𝑛 2 + 9𝑛 + 4 2 Así, 𝑃(𝑛 + 1) es verdadero. Por tanto, 𝑃(𝑛) se cumple para todo 𝑛 natural. 4. Prueba por inducción. • 𝑃(1) es verdadero: 1 3 = [ 1⋅(1+1) 2 ] 2 • Supongamos que 𝑃(𝑛) es verdadero: 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + 𝑛 3 = [ 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) 2 ] 2 • Probemos para 𝑃(𝑛 + 1) que es verdadero, es decir probemos que la siguiente igualdad se cumple 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + 𝑛 3 + (𝑛 + 1) 3 = [ (𝑛 + 1) ⋅ (𝑛 + 2) 2 ] 2 En efecto. Veamos la prueba: 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + 𝑛 3 + (𝑛 + 1) 3 = [ 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) 2 ] ⏟ 𝐻.𝐼 2 + (𝑛 + 1) 3 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + 𝑛 3 + (𝑛 + 1) 3 = [ (𝑛 + 1) ⋅ (𝑛 + 2) 2 ] 2 Así, 𝑃(𝑛 + 1) es verdadero. Por tanto, 𝑃(𝑛) se cumple para todo 𝑛 natural. 5. Prueba por inducción 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4+. . . . . . . . . +𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 3 , 𝑛 ≥ 1 • 𝑃(1) es verdadero, pues 1 ⋅ 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 • Supongamos que 𝑃(𝑛) es verdadero: 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4+. . . . . . . . . +𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 3 , 𝑛 ≥ 1 • Probemos que 𝑃(𝑛 + 1) es verdadero, es decir probemos que la siguiente igualdad se cumple: 1 ⋅ 2+. . . +𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) 3 Partiremos de 1 ⋅ 2+. . . +𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) = 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 3 + (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) ( 𝑛 3 + 1) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) 3 Por tanto, se ha demostrado que 𝑃(𝑛 + 1) es válido. 6. Prueba por inducción: • 𝑃(1) es verdadero: 15 1 − 8 es divisible entre 7. • Supongamos que 𝑃(𝑛) es verdadero, es decir se cumple que: 15 𝑛 − 8 es divisible entre 7 • Probemos que se cumple para 𝑃(𝑛 + 1) , sea verdad, es decir: 15 (𝑛+1) − 8 es divisible entre 7. En efecto: 15 ( 𝑛+1 ) − 8 = 15 × 15 𝑛 − 8 = 14 × 15 𝑛 ⏟ 14 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 7 + 15 𝑛 − 8 ⏟ 𝐻.𝐼 Así, 𝑃(𝑛 + 1) es verdadero. Por tanto, 𝑃(𝑛) se cumple para todo 𝑛 natural. 7. Prueba por inducción: • Probemos que 𝑃(1) es verdadero. 1 3 + 2(1) = 3 es divisible por 3. • Supongamos que 𝑃(𝑛) es verdadero, es decir: 𝑛 3 + 2𝑛 es divisible por 3, para todo número natural 𝑛 . • Probaremos que 𝑃(𝑛 + 1) es verdadera. Es decir, probaremos que : (𝑛 + 1 ) 3 + 2(𝑛 + 1) es divisible por 3. (𝑛 + 1 ) 3 + 2 ( 𝑛 + 1 ) = 𝑛 3 + 3𝑛 2 + 5𝑛 + 3 = 𝑛 3 + 2𝑛…