MA265 Sesión ROP - Diagramas de Hasse[Libro]

- MA265 - Matemática Discreta Asesoría Virtual Semana 03 Parte 01: Relaciones: definiciones y representaciones. 1. Dada la relación 𝑇 = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,2), (4,2)} y 𝑆 dada por el dígrafo, ambos definidos sobre el conjunto 𝐴 = {1,2,3,4} . Desarrolle lo siguiente: a. Determinar el dominio y el rango de la relación 𝑇 y 𝑆 . b. Determinar la matriz 𝑀 𝑇 y 𝑀 𝑆 c. Trace el dígrafo asociado a 𝑇 y halle la relación 𝑆 , expresado en pares ordenados. d. Halle el grado interno y externo de cada elemento del conjunto 𝐴 , para 𝑇 y 𝑆 . e. Determine las relaciones 𝑇 2 y 𝑇 ∞ . 2. Considere la relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐴 / 𝑥𝑦 ≤ 2} siendo 𝐴 = { 𝑛 2 ∈ 𝑍 / −3 < 𝑛 ≤ 4} . a. Determine la relación 𝑅 y la matriz 𝑀 𝑅 b. Trace el dígrafo de 𝑅 . c. Determine la matriz 𝑀 𝑅 2 3. Sobre el conjunto 𝑁 = {0,1,2,3,4,5,6} se define la relación 𝑅 mediante 𝑥𝑅𝑦 sí y solo si 𝑥 + 𝑦 es múltiplo de 3 a. Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que conforman la relación 𝑅 . Luego indique el dominio y rango de 𝑅 . b. Determine la matriz 𝑀 𝑅 c. Trace el dígrafo asociado a 𝑅 . d. Determine las matrices de 𝑅 2 y 𝑅 ∞ 4. El dígrafo mostrado representa una relación 𝑅 definida sobre un conjunto 𝐴 = {1,2,3,4} a. Determine explícitamente (usando notación de conjuntos) los elementos que conforman la relación 𝑅 . Luego, indique el dominio y rango de 𝑅 . b. Determine la matriz 𝑀 𝑅 . c. Halle el grado interno y externo de cada elemento del conjunto 𝐴 . relaciones 𝑅 2 y 𝑅 ∞ . d. Determine las Asesoría Virtual semana 3 Matemática Discreta MA265 2 Parte 02: Relaciones: Propiedades. 1. Dado el conjunto A = {1; 3; 4; 6; 7}, se define la relación S en A de la siguiente manera: 𝑎 𝑆 𝑏  | 𝑎 – 𝑏 | es múltiplo de 3 a) Determine si la relación S es reflexiva, simétrica y transitiva. Justifique su respuesta. b) ¿Es S una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. c) Si S es una relación de equivalencia, halle la clase de equivalencia del 1. d) Si S es una clase de equivalencia, halle el conjunto cociente de A . 2. En el conjunto de los números enteros se define la relación R: ( 𝑎 , 𝑏 ) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 es múltiplo de 2 Demuestre que R es una relación de equivalencia. 3. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 5; 6} y la relación R definida en A por: ( 𝑎 , 𝑏 )  𝑅  2 𝑏 ≤ 𝑎 a) Determine si R es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿ R es una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. 4. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 6} y la relación S definida en A por: 𝑎 𝑆 𝑏  𝑎 | 𝑏 a) Determine si S es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿S es una relación de equivalencia? Justifique su respuesta.