MA265 - ROP - Elementos Extremos - Cotas[Ejercicios]

UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 1 Ejercicios propuestos de Relaciones: Propiedades 1. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} y la relación R definida en A por: 𝑎 𝑅 𝑏  el residuo de dividir a entre 2 es igual al residuo de dividir b entre 2 a) Determine si R es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿ R es una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. c) Si R es una relación de equivalencia halle la clase de equivalencia del 3. d) Si R es una relación de equivalencia halle el conjunto cociente de A . 2. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 5; 6} y la relación R definida en A por: (𝑎, 𝑏)  𝑅  2𝑏 ≤ 𝑎 a) Determine si R es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿ R es una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. 3. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 6} y la relación S definida en A por: 𝑎 𝑆 𝑏  𝑎|𝑏 a) Determine si S es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿S es una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. 4. Dado el conjunto A = {1; 3; 4; 6; 7}, se define la relación S en A de la siguiente manera: 𝑎 𝑆 𝑏  |𝑎– 𝑏| es múltiplo de 3 a) Determine si la relación S es reflexiva, simétrica y transitiva. Justifique su respuesta. b) ¿Es S una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. c) Si S es una relación de equivalencia, halle la clase de equivalencia del 1. d) Si S es una clase de equivalencia, halle el conjunto cociente de A . 5. Dado el conjunto 𝐴 = {3; 6; 9; 12; 15} se define la relación 𝑅 sobre 𝐴 : (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 es múltiplo de 6 a) Determine si la relación R es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿Es R una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. c) Si R es una relación de equivalencia, halle la clase de equivalencia del 9. d) Si R es una clase de equivalencia, halle el conjunto cociente de A . 6. Dado el conjunto A = {4; 8; 12; 16; .........; 800}, se define la relación S en A de la siguiente manera: 𝑎 𝑆 𝑏  𝑎 + 𝑏 es múltiplo de 8 a) Determine si la relación S es reflexiva, simétrica y transitiva. Justifique su respuesta. b) ¿Es S una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. c) Si S es una relación de equivalencia, halle la clase de equivalencia del 4. d) Si S es una clase de equivalencia, halle el conjunto cociente de A . 7. En el conjunto de los números enteros se define la relación R : Matemática Discreta 2 (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 − 𝑏 es múltiplo de 3 Demuestre que R es una relación de equivalencia. 8. En el conjunto de los números enteros se define la relación R: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 es múltiplo de 2 Demuestre que R es una relación de equivalencia. 9. Se consideran las siguientes tareas que se puede realizar para vestirse: 𝑡 1 : levantarse de la cama ; 𝑡 2 : ponerse los zapatos ; 𝑡 3 : ponerse las medias ; 𝑡 4 : ponerse el pantalón ; 𝑡 5 : ponerse la camisa Sea 𝑇 = {𝑡 1, 𝑡 2, 𝑡 3, 𝑡 4, 𝑡 5 } 𝑅 es una relación en 𝑇 . Si: 𝑡 𝑛 𝑅𝑡 𝑚 ⟺ la tarea 𝑡 𝑛 debe realizarse antes de la tarea 𝑡 𝑚 . Determine si 𝑅 es reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica y transitiva. 10. Sea R la relación en A= conjunto de todas las cadenas de bits tales que: sRt ⟺ s y t contienen el mismo número de unos Demuestre que R es una relación de equivalencia. 11. Sea A el conjunto de los números racionales. Sea 𝑅 una relación definida en A como sigue: 𝑎𝑅𝑏 ⟺ 𝑎 2 (𝑏 − 1) = 𝑏 2 (𝑎 − 1) Demuestre que 𝑅 es una relación de equivalencia. 12. Sea 𝐴 = 𝑍 × (𝑍 − {0} ). Se define una relación R en A : ( a, b ) R ( c, d ) ↔ ad = bc. Demuestre que R es una relación de equivalencia. Calcule [ (1, 2) ] 13. Sea W = conjunto de palabras del idioma castellano y además A = W x W . Se define la relación R en A como: xRy ⇔ x e y son palabras que tienen al menos una letra en común. Diga, justificando cada respuesta, si: a) R es reflexiva b) R es simétrica c) R es antisimétrica d) R…