Clase práctica semana 05

Matemática Discreta Relaciones • Propiedades de una relación . Unidad 1: Teoría de Conjuntos, Lógica proposicional y relaciones Logro de la sesión Al finalizar la sesión, estarás preparado para: Identificar las propiedades que satisface una relación y determinar el espacio cociente de un conjunto mediante una relación de equivalencia. Bibliografía • Profesores UPC – Libro digital – Relaciones: Definición y Representación • Johnsonbaugh R. (2005). Matemáticas Discretas, sexta edición. Editorial Pearson, México. Revisar páginas desde 116 hasta 118. • Epp S. (2012). Matemáticas discretas con aplicaciones . México, D.F. Cengage Learning. Revisar páginas desde 442 hasta 448. Bibliografía textos de consulta. Bibliografía multimedia. Relación Reflexiva Ejemplo En 𝐴 = {1; 2; 3; 4} , la siguiente relación es reflexiva. 𝑅 = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), 2; 4 , (3; 3), (4; 1), (4; 4)} Matriz Relación Reflexiva Dígrafo Una relación R en un conjunto A es: Reflexiva  [( a , a )  R ,  a  A ] 𝑀 𝑅 = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 4 1 3 2 Observaciones : • Si M R = [ m ij ] es la representación matricial de R , entonces: R es reflexiva  m ii = 1,  i • El dígrafo asociado a una relación reflexiva tiene bucles (lazos) en todos sus vértices. Relación Irreflexiva Una relación R en un conjunto A es: Irreflexiva  [( a , a )  R ,  a  A ] Ejemplo En 𝐴 = {1; 2; 3; 4} , la relación 𝑅 = { 1; 2 , 1; 3 , 2; 3 , (2; 4), (4; 1)} es irreflexiva. Matriz Dígrafo Relación Irreflexiva 𝑀 𝑅 = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 4 1 3 2 Observaciones : • Si M R = [ m ij ] es la representación matricial de R , entonces: R es irreflexiva  m ii = 0,  i • El dígrafo asociado a una relación irreflexiva no tiene bucles (lazos) en sus vértices. Relación Simétrica Una relación R en un conjunto A es: Simétrica  [( a , b )  R  ( b , a )  R ] Matriz Ejemplo En 𝐴 = {1; 2; 3; 4} , la relación 𝑅 es simétrica: 𝑅 = { 1; 2 , 1; 3 , 1; 4 , 2; 1 , 2; 2 , 3; 1 , (4; 1)} Relación simétrica Dígrafo 𝑀 𝑅 = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 4 1 3 2 Observaciones : • Si M R = [ m ij ] es la representación matricial de R , entonces: R es simétrica  (si m ij = 1  m ji = 1) • Los arcos de un dígrafo asociado a una relación simétrica son de ida y vuelta, bidireccionales. Relación Asimétrica Relación asimétrica Matriz Dígrafo Ejemplo En 𝐴 = 1; 2; 3; 4 , la relación 𝑅 es asimétrica 𝑅 = { 1; 2 , 1; 3 , 2; 4 , 3; 2 , (4; 1)} Una relación R en un conjunto A es: Asimétrica  [( a , b )  R  ( b , a )  R ] 𝑀 𝑅 = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 4 1 3 2 Observaciones : • Si M R = [ m ij ] es la representación matricial de R , entonces: R es asimétrica  [(si m ij = 1  m ji = 0)  m ii = 0] • Los arcos de un dígrafo en una relación asimétrica son unidireccionales y no tiene bucles. • Toda relación asimétrica es irreflexiva. Relación Antisimétrica Ejemplo En 𝐴 = {1; 2; 3; 4} , la relación 𝑅 es antisimétrica 𝑅 = { 1; 2 , 1; 3 , 2; 2 , 3; 2 , (4; 1)} Relación antisimétrica Matriz Dígrafo Una relación R en un conjunto A es: Antisimétrica  [ a  b  ( a , b )  R  ( b , a )  R ] 𝑀 𝑅 = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 4 1 3 2 Observaciones : • Si M R = [ m ij ] es la representación matricial de R , entonces: R es antisimétrica  [si i  j  ( m ij = 0  m ji = 0)] • El dígrafo asociado a una relación antisimétrica solo tiene arcos unidireccionales. • Toda relación asimétrica es antisimétrica. Relación Transitiva Una relación R en un conjunto A es: Transitiva  [Si ( a , b )  R  ( b , c )  R  ( a , c )  R ] Observación : Si M R = [ m ij ] es la representación matricial de R , entonces: R es transitiva  [si ( m ij = 1  m jk = 1)  m ik = 1] Relación transitiva Propiedad Una relación 𝑅 en 𝐴 es transitiva si y solo si 𝑅 2 ⊆ 𝑅 . Ejemplo En 𝐴 = {1; 2; 3; 4} , la relación 𝑅 = { 1; 2 , 1; 3 , 2; 2 , 4; 1 , 4; 2 , (4; 3)} es transitiva. 4 1 3 2 𝑀 𝑅 = 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 0 0 1 0…