MA265 Sesión 7.1 Retículas [Respuestas]

UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 1 Ejercicios propuestos de Relaciones: Manipulación 1. Sea el conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} y las relaciones R y S definidas en 𝐴 por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑹 ⟺ 5|(2𝑎 + 𝑏) y el dígrafo de la relación S . a) Determinar las matrices 𝑀 𝑅 y 𝑀 𝑆 b) Determinar las matrices 𝑀 𝑆 −1 y 𝑀 𝑅̅ c) Determinar las matrices 𝑀 𝑅∪𝑆 −1 y 𝑀 𝑅̅∩𝑆 d) Determinar la matriz 𝑀 𝑆∘𝑅 2. Sea el conjunto 𝐴 = {1, 3, 5, 6, 7, 8} y las relaciones R y S definidas en 𝐴 por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⟺ 𝑎 + 𝑏 ≡ 5(mod 3) y el dígrafo de la relación S . a) Determinar las matrices 𝑀 𝑅 y 𝑀 𝑆 b) Determinar las matrices 𝑀 𝑅 −1 y 𝑀 𝑆̅ c) Determinar las matrices 𝑀 𝑆̅∪𝑅 −1 y 𝑀 𝑆̅∩𝑅 d) Determinar la matriz 𝑀 𝑆∘𝑅 −1 3. Sea el conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 6} y la relación R definida en 𝐴 por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 | 2𝑎 ≤ 𝑏 . Determine la cerradura reflexiva, simétrica y transitiva de R . UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 2 4. Sea el conjunto 𝐴 = {0; 1; 2; 3} y las relaciones R y S definidas en A por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 3 𝑦 𝑎 𝑆 𝑏 ⇔ 𝑎 ≤ 𝑏 a) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ y 𝑆̅ b) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 −1 y 𝑆 −1 c) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 ∪ 𝑆 y 𝑅 ∩ 𝑆 d) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 ∘ 𝑆 . 5. Sea el conjunto 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5} y las relaciones 𝑅 y 𝑆 definidas en 𝐴 por: 𝑅 = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (5; 3), (5; 4), (5; 5)} Y el dígrafo de la relación S: a) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ y 𝑆̅ . b) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 −1 y 𝑆 −1 . c) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 ∪ 𝑆 y 𝑅 ∩ 𝑆. d) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ ∘ 𝑆 −1 . 6. Sea el conjunto A = {-1; 0; 1; 2; 3} y las relaciones 𝑅 y 𝑆 definidas en 𝐴 por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 2. Y la matriz de relación que representa a S: [ 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1] a) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ 𝑦 𝑆̅ . b) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 −1 𝑦 𝑆 −1 . c) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 ∪ 𝑆 𝑦 𝑅 ∩ 𝑆 . d) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 ∘ 𝑆 . 3 3 2 4 1 5 UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 3 7. Sea el conjunto 𝐴 = {1; 2; 3; 5; 6} y las relaciones 𝑅 y 𝑆 definidas en 𝐴 por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 3|(𝑎 + 𝑏) y el dígrafo de la relación 𝑆 . a) Determine las matrices 𝑀 𝑅̅ y 𝑀 𝑆̅ . b) Determine las matrices 𝑀 𝑅 −1 y 𝑀 𝑆 −1 . c) Determine las matrices 𝑀 𝑅∪𝑆 y 𝑀 𝑅∩𝑆 . d) Determine las matrices 𝑀 𝑆∘𝑅 . 8. Sea el conjunto 𝐴 = {1; 3; 5; 6; 7; 8} 𝑦 las relaciones 𝑅 y 𝑆 definidas en A por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑3) . y el dígrafo de la relación 𝑆: a) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 𝑦 𝑆 . b) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ 𝑦 𝑆 −1 . c) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ ∪ 𝑆 𝑦 𝑅 ∩ 𝑆 −1 . d) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ ∘ 𝑆 −1 . 1 2 5 6 3 1 8 7 6 5 3 UPC – Departamento de Ciencias – MATEMATICA DISCRETA (MA265) Profesores MA265 4 9. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5} y las relaciones R , S y T definidas en A por: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ↔ 2𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎𝑆𝑏 ↔ 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑎𝑇𝑏 ↔ 𝑎 + 𝑏 ≤ 5 a) Determine las cerraduras reflexivas de las relaciones R, S y T. b) Determine las cerraduras simétricas de las relaciones R, S y T. c) Determine las cerraduras transitivas de las relaciones R, S y T. d) Determine la matriz 𝑀 𝑅 −1 ∘𝑆 .