Ejercicios Aplicaciones de Funciones booleanas

- MA265 - Matemática Discreta Asesoría Virtual Semana 04 Parte 02: Relaciones: Propiedades. 1. Dado el conjunto A = {1; 3; 4; 6; 7}, se define la relación S en A de la siguiente manera: 𝑎 𝑆 𝑏  | 𝑎 – 𝑏 | es múltiplo de 3 a) Determine si la relación S es reflexiva, simétrica y transitiva. Justifique su respuesta. b) ¿Es S una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. c) Si S es una relación de equivalencia, halle la clase de equivalencia del 1. d) Si S es una clase de equivalencia, halle el conjunto cociente de A . 2. En el conjunto de los números enteros se define la relación R: ( 𝑎 , 𝑏 ) ∈ 𝑅 ⇔ 𝑎 + 𝑏 es múltiplo de 2 Demuestre que R es una relación de equivalencia. 3. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 5; 6} y la relación R definida en A por: ( 𝑎 , 𝑏 )  𝑅  2 𝑏 ≤ 𝑎 a) Determine si R es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿ R es una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. 4. Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 6} y la relación S definida en A por: 𝑎 𝑆 𝑏  𝑎 | 𝑏 a) Determine si S es irreflexiva, asimétrica y antisimétrica. Justifique su respuesta. b) ¿S es una relación de equivalencia? Justifique su respuesta. Parte 01: Manipulación de relaciones 5. Sea el conjunto 𝐴 = {0; 1; 2; 3; 4} y las relaciones 𝑅 y 𝑆 definidas en A por: ( 𝑎 , 𝑏 ) ∈ 𝑅  𝑎 + b = 4 y 𝑎 𝑆 𝑏  𝑎 ≤ 𝑏 a) Determine los elementos de las relaciones 𝑅̅ y 𝑆̅ . b) Determine los elementos de las relaciones 𝑅 − 1 y 𝑆 − 1 . c) Determine los elementos de las relaciones 𝑅  𝑆 y R  S . d) Determine los elementos de la relación 𝑅  𝑆 . Asesoría Virtual 5 Matemática Discreta MA265 2 6. Sea el conjunto 𝐴 = {0; 2; 3; 4; 5} y las relaciones 𝑅 y 𝑆 definidas en 𝐴 por: (𝑎, 𝑏)  𝑅  4|(𝑎 + 𝑏) y el dígrafo de la relación S: a) Determine las matrices 𝑀 𝑅̅ y 𝑀 𝑆̅ . b) Determine las matrices 𝑀 𝑅 − 1 y 𝑀 𝑆 − 1 . c) Determine las matrices 𝑀 R  S y 𝑀 R  S . d) Determine la matriz 𝑀 𝑅 − 1 ° S . 7. En 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} se define una relación transitiva R tal que: M 𝑅 = [ 1 1 𝑏 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1] y M 𝑅 2 = [ 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 𝑎 1 0 0 0 𝑐 0 1] Además, S es definida como: 𝑆 = {(𝑎, 𝑎); (𝑎, 𝑏); (𝑎, 𝑒); (𝑏, 𝑎); (𝑏, 𝑐); (𝑏, 𝑑); (𝑐, 𝑎); (𝑐, 𝑐); (𝑐, 𝑑); (𝑐, 𝑒); (𝑑, 𝑎); (𝑑, 𝑐); (𝑒, 𝑑)} a) Halle los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 . Justifique su respuesta. b) Determine 𝑅 3 , 𝑀 𝑆 − 1 y 𝑀 𝑅̅ . c) Determine las matrices 𝑀 𝑅̅  S y 𝑀 R ° 𝑆 − 1 .