MA265 Sesión 1.2 División en los enteros[Ejercicios]

Matemática Discreta Profesores MA265 Ejercicios de ROP: Elementos Extremos – Cotas 1. En los diagramas de Hasse mostrados, determine los elementos maximales, máximo, minimales y mínimo. (a) (b) ( c ) (d) 2. Considere el conjunto parcialmente ordenado A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, cuyo diagrama de Hasse aparece en la figura. Determine todas las cotas superiores en inferiores de los siguientes subconjuntos de A: B 1 = {a, b} B 2 = {c, d, e} B 3 = {d, g, e} Finalmente determine la MCS y MCI para: B 1 = {a, b} B 2 = {c, d, e} B 3 = {d, g, e} e c g f d a b h g f d e c a b 9 1 4 3 2 7 8 5 6 2 3 1 4 6 5 a b c d f e Matemática Discreta Profesores MA265 2 3. Sea 𝐶 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐 } y definamos sobre el conjunto 𝐴 = 𝑃(𝐶) , la relación R de orden parcial de inclusión, es decir 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑥 ⊆ 𝑦 . a) Trace el diagrama de Hasse correspondiente a la relación R. b) Determine los elementos: cotas superiores, cotas inferiores, MCS, MCI del subconjunto 𝐵 = {{ 𝑎 } , { 𝑏 } , { 𝑎, 𝑏 }} 4. Sea 𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, } la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe que unas preceden inmediatamente a otras de la siguiente manera: 𝑓 ≤ 𝑎, 𝑓 ≤ 𝑑, 𝑒 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑓, 𝑒 ≤ 𝑐, 𝑏 ≤ 𝑓, 𝑒 ≤ 𝑔, 𝑔 ≤ 𝑓 a) Trace el diagrama de Hasse correspondiente a dicha relación. b) Determine los elementos: mínimo, máximo, minimales, maximales de T. c) Determine los elementos: cotas superiores, cotas inferiores, MCS, MCI del subconjunto 𝐵 = {𝑔, 𝑓, 𝑐}. 5. Para el conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) , donde 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, } se cumple que: 𝑖 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑓 ≤ 𝑏 ≤ ℎ , 𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑔 ≤ ℎ , 𝑖 ≤ 𝑐 ≤ 𝑒 ≤ 𝑔 , 𝑐 ≤ 𝑒 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 . (a) Trace el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) . (b) Determine los elementos: maximales, minimales, máximo y mínimo de (𝐴, ≤) . En caso de no existir algún elemento, justifique su respuesta . (c) Determine las cotas superiores, cotas inferiores, mínima cota superior y máxima cota inferior del subconjunto 𝐵 = {𝑎, 𝑔, 𝑒} . En caso de no existir algún elemento, justifique su respuesta . 6. Para el conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) donde 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔} tenemos que se cumple: 𝑔 ≤ 𝑓 ≤ 𝑒 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 , 𝑓 ≤ 𝑎 ≤ 𝑑 ≤ 𝑐 , 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 , 𝑓 ≤ 𝑒 ≤ 𝑑 ≤ 𝑐 a) Trace el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) . b) Determine los elementos: maximales, minimales, máximo y mínimo de (𝐴, ≤) . En caso de no existir algún elemento, justifique su respuesta. c) Determine las cotas superiores, cotas inferiores, mínima cota superior y máxima cota inferior del subconjunto 𝐵 = {𝑎, 𝑒, 𝑓} . En caso de no existir algún elemento justifique su respuesta. Matemática Discreta Profesores MA265 3 7. Considere el conjunto parcialmente ordenado A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, cuyo diagrama de Hasse aparece en la figura. Determine todas las cotas superiores en inferiores de los siguientes subconjuntos de A: • B 1 = {c, b} • B 2 = {a, d, f} • B 3 = {d, g, e} Finalmente determine la MCS y MCI para: • B 4 = {d, b} • B 5 = {f, a, g} • B 6 = {d, g, b} 8. Para el conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) , donde 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖} se cumple que: 𝑖 ≤ 𝑒 ≤ 𝑐 ≤ 𝑎 ≤ 𝑑 , 𝑖 ≤ ℎ ≤ 𝑔 ≤ 𝑓 ≤ 𝑑 , ℎ ≤ 𝑐 ≤ 𝑓 , 𝑏 ≤ 𝑔 ≤ 𝑎 a) Trace un diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) . b) Determine los elementos: maximales, máximo, minimales, mínimo. Si no existe alguno de ellos, justifique su respuesta. c) Para el subconjunto 𝐵 = {𝑐, ℎ, 𝑔} , determine los elementos: cotas superiores, mínima cota superior, cotas inferiores, máxima cota inferior. Si no existe alguno de ellos, justifique su respuesta. 9. Para el conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) , donde 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗} se cumple que: 𝑑 ≤ 𝑖 ≤ 𝑒 ≤ 𝑔 ≤ 𝑎 , 𝑑 ≤ 𝑗 ≤ 𝑓 ≤ ℎ ≤ 𝑎 , 𝑐 ≤ 𝑒 ≤ 𝑏 ≤ 𝑎 , 𝑐 ≤ 𝑓 ≤ 𝑏 ≤ 𝑎 a) Trace el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado (𝐴, ≤) . b) Determine los elementos: maximales,…