MA265 Sesión 1.2 División en los enteros[Diapo]

UPC – Departamento de Ciencias – Matemática Discreta Profesores MA265 Elementos extremos y cotas de un CPO CONTENIDO Elementos extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado • Elementos extremos o Maximales o Máximo o Minimales o Mínimo • Cotas de un subconjunto de un CPO o Cotas superiores o Mínima cota superior – MCS o Cotas inferiores o Máxima cota inferior – MCI UPC – Departamento de Ciencias – Matemática Discreta Profesores MA265 1. ELEMENTOS EXTREMOS DE UN CPO Dado ( A ,  ) un conjunto parcialmente ordenado, tenemos las siguientes definiciones: Maximal Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es un elemento maximal de 𝐴 si no existe un elemento 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑎 < 𝑐 . Minimal Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es un elemento minimal de 𝐴 si no existe un elemento 𝑐 ∈ 𝐴 tal que 𝑐 < 𝑎 . TEOREMA Sea A un conjunto finito parcialmente ordenado no vacío con orden parcial ≤ , entonces 𝐴 tiene al menos un elemento maximal y al menos un elemento minimal. Ejemplo Dado el conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} y el diagrama de Hasse de (𝐴, 𝑅) : • Los elementos maximales de 𝐴 son {𝑎, 𝑒} • Los elementos minimales de 𝐴 son {𝑑, 𝑓} . Máximo Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es un elemento máximo de 𝐴 si 𝑥 ≤ 𝑎 , ∀𝑥 ∈ 𝐴 . El elemento máximo de un conjunto parcialmente ordenado, si existe, se denota por 𝐼 y es llamado elemento unidad. Mínimo Un elemento 𝑏 ∈ 𝐴 es un elemento mínimo de 𝐴 si 𝑏 ≤ 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐴 . El elemento mínimo de un conjunto parcialmente ordenado, si existe, se denota por 0 y es llamado elemento cero. TEOREMA Un Conjunto parcialmente ordenado tiene a lo más un elemento máximo y a lo más un elemento mínimo. UPC – Departamento de Ciencias – Matemática Discreta Profesores MA265 Ejemplo Dado el conjunto parcialmente ordenado ( )  , A , donde   i h g f e d c b a A , , , , , , , , = y cuyo diagrama de Hasse es el que se muestra a la derecha: • El elemento maximal de 𝐴 es {𝑎} • El elemento minimal de 𝐴 es {𝑖} • El elemento máximo de 𝐴 es {𝑎} • El elemento mínimo de 𝐴 es {𝑖} . 2. COTAS DE UN SUBCONJUNTO DE UN CPO Sea (𝐴, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y 𝐵 ⊂ 𝐴 . Cota superior Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es una cota superior de 𝐵 , si 𝑏 ≤ 𝑎 , para todo 𝑏 ∈ 𝐵 . Cota inferior Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es una cota inferior de 𝐵 , si 𝑎 ≤ 𝑏 , para todo 𝑏 ∈ 𝐵 . Ejemplo Dados los conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ} , 𝐵 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, ℎ} y el diagrama de Hasse de (𝐴, 𝑅) : • Las cotas superiores de 𝐵 son {𝑎, 𝑏} • La cota inferior de 𝐵 es {𝑑} . Mínima cota superior Sea 𝐴 un conjunto parcialmente ordenado y 𝐵 un subconjunto de 𝐴 . Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es una mínima cota superior de 𝐵 ( 𝑀𝐶𝑆(𝐵) ) si 𝑎 es una cota superior de 𝐵 y 𝑎 ≤ 𝑎′ , siempre que 𝑎′ sea una cota superior de 𝐵 . Máxima cota inferior Sea 𝐴 un conjunto parcialmente ordenado y 𝐵 un subconjunto de 𝐴 . Un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es una máxima cota inferior de 𝐵 ( 𝑀𝐶𝐼(𝐵) ) si 𝑎 es una cota inferior de 𝐵 y 𝑎′ ≤ 𝑎 , siempre que 𝑎′ sea una cota inferior de 𝐵 . a b d i e g c h f UPC – Departamento de Ciencias – Matemática Discreta Profesores MA265 TEOREMA Sea (𝐴, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Entonces 𝐵 ⊂ 𝐴 tiene a lo más una mínima cota superior y a lo más una máxima cota inferior. Ejemplo Dado el conjunto parcialmente ordenado ( )  , A , donde   i h g f e d c b a A , , , , , , , , = y cuyo diagrama de Hasse es el que se muestra a la derecha: a. Si consideramos el subconjunto 𝐵 = {ℎ, 𝑏} • Su cota superior es {𝑎} • 𝑀𝐶𝑆(𝐵) = {𝑎} • Las cotas inferiores son {𝑒, 𝑑, 𝑖} • 𝑀𝐶𝐼(𝐵) no existe, pues 𝑒 y 𝑑 no son comparables b. Si consideramos el subconjunto 𝐵 = {𝑏, 𝑒, ℎ} • Su cota superior es {𝑎} • 𝑀𝐶𝑆(𝐵) = {𝑎} • Las cotas inferiores son {𝑒, 𝑖} • 𝑀𝐶𝐼(𝐵) = {𝑒} Ejercicios propuestos 1. En los diagramas de Hasse mostrados, determine los elementos maximales, máximo, minimales y mínimo. e c g f d a b 9 1 4 3 2 7 8 5 6 2 3 1 4 6 5 a b c d f e UPC – Departamento de Ciencias – Matemática Discreta Profesores MA265 2.…