MA265 sesión práctica semana 09

Matemática Discreta Estructuras de orden • Elementos extremos de un CPO • Cotas de un subconjunto de un CPO Unidad 2: Estructuras de orden, Álgebra de Boole. Logro de la sesión Al finalizar la sesión, el estudiante calcula los elementos extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado (CPO) y las cotas de un subconjunto de un Conjunto Parcialmente Ordenado. Bibliografía • Profesores UPC – Libro digital – Elemento extremos y cotas de un CPO • Johnsonbaugh R. (2005). Matemáticas Discretas, sexta edición. Editorial Pearson, México. • Epp S. (2012). Matemáticas discretas con aplicaciones . México, D.F. Cengage Learning. Bibliografía textos de consulta. Bibliografía Multimedia https://n9.cl/haqck Elemento maximal y elemento minimal Sea ( A ,  ) un conjunto parcialmente ordenado.  Un elemento a  A es un elemento maximal de A si no existe un elemento c  A tal que a < c .  Un elemento a  A es un elemento minimal de A si no existe un elemento c  A tal que c < a . Teorema: Sea A un conjunto finito parcialmente ordenado no vacío con orden parcial ≤ , entonces A tiene al menos un elemento maximal y al menos un elemento minimal . Definición: Elemento maximal y elemento minimal Ejemplo: Encuentre los elementos maximales y minimales en el dígrafo de una R.O.P sobre 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖 Maximales Minimales: a , e d , f , i , i a d b g h c e f i Elemento máximo y elemento mínimo • Un elemento a  A es un elemento máximo de A , si x  a para todo x  A . • Un elemento b  A es un elemento mínimo de A , si b  x para todo x  A . Teorema: Un conjunto parcialmente ordenado tiene a lo más un elemento máximo y a lo más un elemento mínimo . Definición: Elemento máximo y elemento mínimo a e d b g h c Ejemplo: Encuentre el elemento máximo, el elemento mínimo, justifique. Elemento mínimo: d Elemento máximo: a Se observa que: 𝒂 ≥ 𝒙, ∀𝒙 Se observa que: 𝒅 ≤ 𝒙, ∀𝒙 Elemento máximo y elemento mínimo Ejemplo: Detrmine el elemento máximo, el elemento mínimo, justifique. Elemento máximo: No tiene, porque a , i NO son comparables, esto implica que 𝑎 ≥ 𝑥 no se cumple ∀𝑥 . a d b g h c e f i Elemento mínimo: No tiene, porque d , f NO son comparables, esto implica que 𝑑 ≤ 𝑥 no se cumple ∀𝑥 . ¿ 𝑑 ≤ 𝑖 ? ¿ i ≤ 𝑎 ? Sí (por la transitividad de ≤ ) ¿ 𝑑 ≤ 𝑓 ? No (porque 𝑖 y 𝑎 son maximales) No (porque 𝑑 y 𝑓 son minimales) Cotas superiores y cotas inferiores Sea ( A ,  ) un conjunto parcialmente ordenado y B ⊂ A . • Un elemento a  A es una cota superior de B , si b  a para todo b  B . • Un elemento a  A es una cota inferior de B , si a  b para todo b  B . Ejemplo: Dados los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, B = {b, c, d, h} y el diagrama de Hasse de ( A , R ). Halle las cotas superiores e inferiores del conjunto 𝐵 Definición: Cotas superiores y cotas inferiores • las cotas superiores de B son { } Respuesta: • la cota inferior de B es { }. a d b g h c e f a , b d MCS y MCI Definición: MCS y MCI Teorema. Sea ( A , ≼ ) un conjunto parcialmente ordenado. Entonces B ⊂ A tiene a lo más una mínima cota superior y a lo más una máxima cota inferior . Ejemplo: Dados los conjuntos A = { a , b , c , d , e , f , g , h }, B = { b , c , d , h } y el diagrama de Hasse de ( A , R ). Halle el MCS ( B ) y el MCI ( B ) 𝐶𝑆 𝐵 = 𝑏, 𝑎 𝐶𝐼 𝐵 = 𝑑 𝑴𝑪𝑺 𝑩 = 𝒃 a d b g h c f e 𝑴𝑪𝑰 𝑩 = 𝒅 Sea A un conjunto parcialmente ordenado y B un subconjunto de A . • Un elemento a  A es una mínima cota superior de B (MCS( B )) si a es una cota superior de B y a  a’ , siempre y cuando a’ sea una cota superior de B . • Un elemento a  A es una máxima cota inferior de B (MCI( B )) si a es una cota inferior de B y a’  a , siempre y cuando a’ sea una cota inferior de B . Dado el conjunto parcialmente ordenado 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ , cuyo diagrama de Hasse aparece en la siguiente figura. Determine todas las cotas superiores e inferiores, MCS y MCI de los siguientes subconjuntos de A : Ejercicio 01 𝐵 1 = {𝑎, 𝑏} 𝐵 2 = 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝐵…